Définitions

  • On appelle base de l'ensemble des vecteurs du plan tout
    couple (, ) deux vecteurs non colinéaires.
  • On appelle repère de plan tout triplé (O, , ) où O est un point du plan et (, ) une base.
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Théorème

Soit (O, , ) un repère du plan. Pour
tout point M du plan il existe un unique couple (x, y) deux réels tels
que = x + y.

[théorème]

Unicité du couple

Si = x + y = x’ + y’
(x - x’) = (y’ - y)
Soit x - x’ ≠ 0[vecteur i =]

= k
Contraire au fait que (, ) soit une
base.

Si x - x’ = 0(x
- x’) = 0 = (y’ - y)

Où est un vecteur de la base

donc y’ - y = 0

Le couple (x, y) est unique.

Remarque

Soit un repère (O, , ) du plan. Pour
tout vecteur , il exixte un point M du plan tel que :
=
= x + y

  • Dire que M a pour coordonnées (x, y) dans un repère
    (O, [vecteur i], [vecteur j] signifie que [vecteur OM] = x[vecteur i] +
    y[vecteur j] où x est l'abscisse de M et y son ordonnée.
  • Dire que [vecteur u] a pour coordonnées (x, y) dans
    la base ([vecteur i], [vecteur j]) signifie que [vecteur u] = x[vecteur
    i] + y[vecteur j].

Soit ([vecteur i], [vecteur j]) une base et [vecteur u] (x,
y) et [vecteur v] (x', y').

  • [vecteur u] = [vecteur nul] équivaut à x = 0 ou y = 0.
  • [vecteur u] = [vecteur v] équivaut à x = x' et
    y = y'.
  • [vecteur u] + [vecteur v] a pour coordonnées (x + x',
    y + y')                                  [vecteur u] + [vecteur v] = (x[vecteur i] + y[vecteur
    j] + (x'[vecteur i] + y'[vecteur j])          = (x + x')
    [vecteur i] + (y + y') [vecteur j]
  • k[vecteur u] a pour coordonnées (kx, ky)                                                                 k[vecteur u] = k (x[vecteur i] + y[vecteur j])                                                                        = kx[vecteur
    i] + ky[vecteur j]

Résultats corollaires

Soit (O, [vecteur i], [vecteur j]), A (xA,
yA) et B (xB, yB)

  • [vecteur AB] = [vecteur AO] + [vecteur OB]                                                                            = [vecteur OB] -
    [vecteur OA]                                                                                       = (xB[vecteur
    i] + yB[vecteur j]) - (xA[vecteur i] + yA[vecteur
    j])                                    = (xB
    - xA) [vecteur i] + (yB - yA) [vecteur j]                                              [vecteur AB] (xB - xA, yB
    - yA)
  • Soit I milieu de [AB]                                                                                                       [vecteur OI] = 1/2 ([vecteur OB] + [vecteur
    OA])

xI[vecteur i] + yI[vecteur j] =
1/2 (xA[vecteur i] + yA[vecteur
j] + xB[vecteur i] + yB[vecteur j])                                                                                                       [I
milieu de AB]

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !