Enoncé

I) exercice 1( A B C ) est un triangle rectangle en A tel que AB = a AC = 2a
I désigne le milieu de [ A C ], G le barycentre de ( A, 3 )( B, -2 )
( C, 1 )

1° Construire G, préciser la nature de (A B I G)
Calculer en fonction de a, GA , GB , GC

2° A tout point M du plan on associe le réel
f(M)= 3MA² - MB²+ MC²

a) En remarquant que vecteur MA = vecteur MG+vecteur GA ;

vecteur MB = vecteur MG+vecteurGB ;

vecteur MC = vecteur MG+vecteur GC

exprimer f(M) en fonction de MG et de a

b) Déterminer et construire l’ensemble P des points M tels que
f(M) = 2a²

3° A tout point M du plan, on associe le réel
g(M) = 3MA² - 2MB² - MC²

a) Démontrer que quel que soit M,
3 vecteur MA - 2 vecteur MB – vecteur MC est un vecteur V,
indépendant de M, non nul

b) Démontrer que quel que soit M,
g(M) – g(B) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V
g(M) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V – 2a²

c) On désigne par delta l’ensemble des points du plan tels que
g(M) = -2a²

Vérifier que I, B appartiennent à delta

4° delta et P sont sécants en E et F. Démontrer que (GEC) et (GFC)
sont équilateraux.

II exercice 2
Soit alpha = 0.999……9 (la partie décimale est formée de 2001 chiffres égaux a 9)

2001

1° prouver que alpha < racine carrée alpha < 1
en déduire les 2001 premiers chiffres après la virgule de racine
carrée de alpha

2°on pose x0 = 10-2001

a) vérifier que alpha = 1 - x0

b) on considère f définie sur [0 ;1[ par
f(x) = racine carrée de (1 – x)

montrer que f est dérivable sur [0 ; 1[
en déduire que f(x) = 1 – x/2 + x phy (x)
ou lim en 0 de phy = 0

c) Si l’on décide d’approcher f(x) par 1 – x/2
quelles sont les 2002 premières décimales de racine carrée de alpha
que l’on obtient ?

3°soit 0 < x < 1
a)montrer que 1 – x/2 – racine carrée de (1 - x) = (x²/4) /
racine carrée de ( 1 – x ) + ( hors racine)(1- x/2 )

puis que racine carrée de (1-x) +( hors racine)( 1 – x/2 ) > ½

b)en déduire que 1 – x/2 – x²/2
c)donner les 4002 premières décimales de racine carrée de alpha.

 

Réponse de notre équipe pédagogique

 

Suite à des erreurs d’énoncés, la réponse à la question n’est pas complète, mais 9/10 du problème est fait. Pour le dérangement, tu seras recrédité de 30 points.

Bon travail et à bientôt!

le correcteur.

( A B C ) est un triangle rectangle en A tel que AB = a AC = 2a

I désigne le milieu de [ A C ], G le barycentre de ( A, 3 )( B, -2 ) ( C, 1 )

1° Construire G, préciser la nature de (A B I G) Calculer en fonction de a, GA , GB , GC

on a G barycentre de ((J,1),(C,1)) avec J barycentre de ((A,3),(B,-2))

On trace J : 3AJ -2BJ=0 ie 3AJ -2BA-2AJ =0 ie AJ = 2BA

Puis G est le centre de [JC].

ABIG est un parallélogramme.

En effet, en appliquant le théorème des milieux dans le triangle CJA, I passe par le milieu de [AC], G par celui de [CJ] donc (GI) parallèle à (AJ) et selon la définition de J, parallèle à (AB). de plus en appliquant Thalès dans le traingle CJA, on obtient : GI/JA = CI/CA soit GI = a/2a*2a (puisque AJ = 2BA) donc GI = a = AB.

Donc vecteur IG = vecteur BA donc ABIG est un parallélogramme.

Dasn le triangle rectangle GIA, par Pythagore, on obtient : GA = V(GI²+IA²) = V(a²+a²) = aV2

De même dans GIC, GC = aV2

De plus GB = GH +Hb ou H est le milieu des di gonales de ABIG : dans le triangle rectangle GHI, on obtient par Pythagore : GH = (a²+(a/2)²) = aV(5/4)=0.5aV5

de même HB = V(a²+a²/4) = a/2 V(5) donc GB = aV5

2° A tout point M du plan on associe le réel f(M)= 3MA² - MB²+ MC²

a) En remarquant que vecteur MA = vecteur MG+vecteur GA ; vecteur MB = vecteur MG+vecteurGB ; vecteur MC = vecteur MG+vecteur GC exprimer f(M) en fonction de MG et de a

f(M) = 3(MG+GA)² -(MG + GB)² +(MG+GC)² =3( MG²+GA² +2GA.MG)) -(MG² +GB² +2MG.GB)+MG²+GC² +2GC.MG (. = scalaire)

f(M) = 3MG² +3GA²-GB²+GC² +MG.(3GA-GB+GC) or 3GA-GB+GC =0

donc f(M) = 3MG² +3GA²-GB²+GC² = 3MG² +6a²-5a²+2a² = 3MG²+3a²

f(M) = 3MG²+3a²

b) Déterminer et construire l’ensemble P des points M tels que f(M) = 2a²

f(M) = 2a² ssi 3MG²+3a² = 2a² ssi 3MG² = -a² ce qui est impossible il doit donc il y avoir une erreur d’énoncé.

3° A tout point M du plan, on associe le réel g(M) = 3MA² - 2MB² - MC²

a) Démontrer que quel que soit M, 3 vecteur MA - 2 vecteur MB – vecteur MC est un vecteur V, indépendant de M, non nul

en vecteur : 3MA -2MB -MC = 2MA +2BM +MA +MC donc par Chasles : 3MA-2MB-MC = 2BA +AC=V indépendant de M

b) Démontrer que quel que soit M, g(M) – g(B) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V g(M) = 2 vecteur MB scalaire vecteur V – 2a²

g(M)-G(B) = 3MA²-2MB²-MC² -3BA² +2BB² +BC² = 3(MB+BA)²-2MB² -(MB+BC)² -3BA² +BC² = 3(MB²+BA²+2MB.BA) -2MB² -(MB²+BC²+2MB.BC) -3BA²+BC²

= 6MB.BA - 2MB.BC = 2(3MB.BA-MB..BC) =2MB.(3BA-BA-AC) = 2MB.(2BA-AC) = 2MB.V

donc g(M)-g(B) = 2MB.V et g(M) = 2MB.V - g(B) = 2MB.V-3BA²+BC²= 2MB.V - 3.a²+5a² = 2MB.V+2a²

c) On désigne par delta l’ensemble des points du plan tels que g(M) = -2a² Vérifier que I, B appartiennent à delta

g(M) = -2a² équivaut à 2MB.V = -4a²

g(I) = 3IA²-2IB²-IC² = 3a²-4a²-a²=-2a² donc I appartient à delta

g(B) = 3BA²-2BB²-BC² = 3a²-5a² = -2a² donc B appartient à delta

4° delta et P sont sécants en E et F. Démontrer que (GEC) et (GFC) sont équilateraux.

II exercice 2

Soit alpha = 0.999……9 (la partie décimale est formée de 2001 chiffres égaux a 9) 2001

1° prouver que alpha < racine carrée alpha < 1 en déduire les 2001 premiers chiffres après la virgule de racine carrée de alpha

alpha <1 donc racine carré alpha >alpha et 1 <racine carré alpha.

0.999...9<Valpha<1 donc les2001 premiers chiffres de Valpha sont 2001 fois 9.

2°on pose x0 = 10-2001

a) vérifier que alpha = 1 - x0

je suppose que tu as voulu écrire x0 = 10^-2001 dans ce cas, x0 = 0.0000....0001 avec 2000 zéros auquel cas, alpha est évidemment égal à 1-x0 (on rajoute 1 au 2001eme 9, il devient 0, la retenur s’ajoute à celui de gauche ... jusqu’à 1)

b) on considère f définie sur [0 ;1[ par f(x) = racine carrée de (1 – x) montrer que f est dérivable sur [0 ; 1[ en déduire que f(x) = 1 – x/2 + x phy (x) ou lim en 0 de phy = 0

VX est dérivable ssi X >= 0 donc ici si 1-x>=0 ie 1>=x donc f est dérivable sur [0;1[.

on sait que (1+h)^b = 1+bh+hpsy(h) avec lim psy(h) =0 en 0 donc ici : f(x) = 1+1/2(-x) -hpsy(-x)

on prend phy = -psy(-x) , elle tend vers 0 en 0 aussi donc f(x) = 1-x/2+xphy(x)

c) Si l’on décide d’approcher f(x) par 1 – x/2 quelles sont les 2002 premières décimales de racine carrée de alpha que l’on obtient ?

alpah = 1-x0, Valpha = f(x0) donc si Valpha vaut environ 1-x0/2, on obtient comme décimale : 2001 zéros et 5

3°soit 0 < x < 1

a)montrer que 1 – x/2 – racine carrée de (1 - x) = (x²/4) / racine carrée de ( 1 – x ) + ( hors racine)(1- x/2 ) puis que racine carrée de (1-x) +( hors racine)( 1 – x/2 ) > ½

1-x/2 -V(1-x)-(x²/4)/(V(1-x)+1-x/2) = [ -1+x+1+x²/4+V(1-x)-V(1-x)-x+x/2 V(1-x)-x/2V(1-x))]/(V(1-x)+1-x/2) =0

doncV(1-x) +1-x/2 = (x²/4)/(1-x/2-V(1-x))>(1/4)/(1-1/2) = 1/2

b)en déduire que 1 – x/2 – x²/2

question incomplète

c)donner les 4002 premières décimales de racine carrée de alpha.

 

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