Sujet et solution

Enoncé
Exercice 1 ( 7.5 points )

Une unité de longueur est choisie dans l’espace.
ABCD est un tétraèdre dans lequel ABC, ABD, ACD, sont des triangles rectangles en A.
AB=3, AC=4, AD=6
Soit M un point de [AB] tel que AM=x et soit (pi) le plan passant par M, parallèle à (BC) et à (AD).

1° Montrer que (AD) et (BC) sont orthogonales.
2°a) Tracer l’intersection (I) de (pi) avec les faces du tétraèdre. On appellera N, P Q, respectivement les points d’intersection de (I) avec [BD], [DC] et [AC].
b) Quelles est la nature précise de MNPQ ?
3°Calculer MN et MQ en fonction de x et vérifier que l’aire A(x) de MNPQ est égale à 10x-(10x au carré sur 3.)
4° Ecrire A(x) sous forme canonique. En déduire le tableau de variation de A. Pour quelle valeur de x, A(x) est elle maximale ?
5° Représenter graphiquement la fonction A dans un repère ( O, vecteur i, vecteur j ).
6° Pour quelles valeurs de x, MNPQ et ABC ont ils la même aire ?
Répondre à cette question : a)en utilisant le graphique.
b) en faisant le calcul donnant les valeurs exactes de solutions.

Exercice 2 (7.5 points )
On considère deux fonctions f et g dont les courbes représentatives sont dessinées sur le graphique ci-après.
1° a) Quels sont leurs ensembles de définition ?
b) Donner leurs tableaux de variations.
2° ON s’intéresse dans cette partie à la fonction gof.
x -4 0 2 4 6
f(x) 4
gof(x) -5
a) Compléter le tableau ci-dessus ( une colonne est donnée en exemple )

b) Quel est le sens de variation de f sur [-4,0] ?
Quel est l’ensemble I des images des éléments de [-4,0] par f ?
Quel est le sens de variation de g sur I ?
En déduire le sens de variation de gof sur [-4,0].
c) En procédant de même manière, déterminer le tableau de variation de gof.
d) En admettant que gof est une fonction affine par intervalle, tracer la courbe représentative de gof dans un repère orthogonale ( O, vecteur i, vecteur j à.
3° En quoi les renseignements fournis par les graphiques sont ils insuffisant pour déterminer fog ?

Exercice 3 ( 5 points )
Soit f la fonction définie par f(x)=(x au carré+x+1) sur (x+1) sur l’intervalle [0,2]
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, vecteur i, vecteur j ).
1° Montrer que f est bornée.
En déduire une partie P du plan dans laquelle se trouvera la courbe (C).
2° Démontrer que pour tout x appartenant à [0,2], f(x) supérieur ou égal à x+1/3 et f(x) inférieur ou égal à x+1.
En utilisant ces inégalités, représenter la partie P dans laquelle se trouvera la courbe (C ).

La courbe, le tétraèdre et le tableau ne sont pas aparus. Je pourrais vous les faires parvenir par mail.

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

Une unité de longueur est choisie dans l’espace. ABCD est un tétraèdre dans lequel ABC, ABD, ACD, sont des triangles rectangles en A. AB=3, AC=4, AD=6 Soit M un point de [AB] tel que AM=x et soit (pi) le plan passant par M, parallèle à (BC) et à (AD).

1° Montrer que (AD) et (BC) sont orthogonales.

  • (AD) est orthogonale à (AB) car ABD est rectangle en A
  • (AD) est orthogonale à (AC) car ACD est rectangle en A

Donc, comme (AB) et (AC) sont sécantes, (AD) est orthogonal au plan formé par (AB) et (AC), donc à toutes les droites de ce plan.

(BC) appartient à ce plan (elle relie deux points de ce plan).

Donc (AD) est orthogonale à (BC)

2°a) Tracer l’intersection (I) de (pi) avec les faces du tétraèdre. On appellera N, P Q, respectivement les points d’intersection de (I) avec [BD], [DC] et [AC].

Je vous laisse faire la figure...

b) Quelles est la nature précise de MNPQ ?

MNPQ est un quadrilatère, car les 4 points appartiennent au même plan (pi).

(AD) étant orthogonale au plan (ABC), tout plan incluant (AD) est orthogonal à (ABC). AInis, (ABD) et (ADC) sont orthogonaux à (ABC).

  • Comme (MN) est dans (ABD) et (MQ) dans (ABC), (MN) est perpendiculaire à (MQ)
  • Comme (PQ) est dans (ADC) et (MQ) dans (ABC), (PQ) est perpendiculaire à (MQ)

De plus, par le théorême de Thalès, comme (MN)//(AD), MN/AD=MB/AB

Soit MN=(3-x).6/3=(3-x).2

Par le théorême de Thalès, , comme MQ//BC, AQ/AC=MQ/BC=AM/AB

Soit AQ=x/3.4=4/3.x

Par le théorême de Thalès, comme (PQ)//(AD), PQ/AD=QC/AC

Soit PQ/AD=(AC-AQ)/AC

Soit PQ=(4-4/3x).6/4=6-2x

On a alors PQ=MN

Donc, par construction, MNPQ est un rectangle (2 angles droits + 2 côtés non consécutifs égaux)

3°Calculer MN et MQ en fonction de x et vérifier que l’aire A(x) de MNPQ est égale à 10x-(10x au carré sur 3.)

(MN)//(AD) donc, par le théorême de Thalès :

MN/AD=MB/AB

Soit MN/6=(3-x)/3

Soit enfin : MN=2(3-x)

(MQ)//(BC) donc, par le théorême de Thalès :

MQ/BC=MA/AB

Soit MQ/BC=x/3

Le théorême de Pythagore nous donne aisément BC=5

On a alors MQ=5x/3

D’où A(MNPQ)=MNxMQ=2(3-x).(5x/3)

= 10x-10x²/3

4° Ecrire A(x) sous forme canonique. En déduire le tableau de variation de A. Pour quelle valeur de x, A(x) est elle maximale ?

A(x)=-10/3(x²-3x+V(3/2)-V(3/2))

= -10/3(x-V(3/2))²+10/3.(V3/2)

Le tableau est très simple à effectuer : x est maximale si -10/3(x-V(3/2))² est minimale, c’est à dire si x=V(3/2)

5° Représenter graphiquement la fonction A dans un repère ( O, vecteur i, vecteur j ).

Il s’agit d’une simple parabole...

6° Pour quelles valeurs de x, MNPQ et ABC ont ils la même aire ? Répondre à cette question :
a)en utilisant le graphique.

L’aire de ABC est 4.3/2=6

MNPQ ont donc même aire pour le x tel que la courbe de A(x) coupe la droite d’équation y=6

b) en faisant le calcul donnant les valeurs exactes de solutions.

10x-10x²/3=6 Û -10x²/3+10x-6=0

Il s’agit d’un simple trinôme, aisé à résoudre. (attention, il faut forcément que x soit compris dans [0,3])

Exercice 2 (7.5 points )

On considère deux fonctions f et g dont les courbes représentatives sont dessinées sur le graphique ci-après.

1° a) Quels sont leurs ensembles de définition ?
Il faut regarder les abscisses de tous les point qui ont une image par f ( ou par g respectivement)

b) Donner leurs tableaux de variations.
Facile, lorsque la courbe "monte" la fonction est croissante, lorsqu’elle descend la fonction est décroissante.

2° ON s’intéresse dans cette partie à la fonction gof. x -4 0 2 4 6 f(x) 4 gof(x) -5

a) Compléter le tableau ci-dessus ( une colonne est donnée en exemple )

b) Quel est le sens de variation de f sur [-4,0] ? Quel est l’ensemble I des images des éléments de [-4,0] par f ? Quel est le sens de variation de g sur I ? En déduire le sens de variation de gof sur [-4,0].
Il faut utiliser le théorême suivant :
lorqu’on compose deux fonctions de même monotonie sur un intervalle, on obtient une fonction croissante, lorqu’on compose deux fonctions de monotonie différente, on obtient une fonction décroissante.

c) En procédant de même manière, déterminer le tableau de variation de gof.

d) En admettant que gof est une fonction affine par intervalle, tracer la courbe représentative de gof dans un repère orthogonale ( O, vecteur i, vecteur j à.

3° En quoi les renseignements fournis par les graphiques sont ils insuffisant pour déterminer fog ?

Par le théorême utilisé au-dessus, on connait le sens de variation de gof : il suffit par la suite d’utiliser les extrema calculés à la question a) pour pouvoir finaliser le tracé de la courbe ( pour simplifier, on consodère qu’elle est affine...)

Exercice 3 ( 5 points )

Soit f la fonction définie par f(x)=(x au carré+x+1) sur (x+1) sur l’intervalle [0,2] On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, vecteur i, vecteur j ).

1° Montrer que f est bornée. En déduire une partie P du plan dans laquelle se trouvera la courbe (C).

f(x)=x²/(x+1)+1 1<(x+1)<3 soit 1/3<1/(x+1)<1 soit 0<x²/(x+1)<2 soit 1<f(x)<3 f est donc bornée. C se trouve dans le rectangle délimité par le segment (0;2) en abscisse et le segment (1;3) en ordonnée.

2° Démontrer que pour tout x appartenant à [0,2], f(x) supérieur ou égal à x+1/3 et f(x) inférieur ou égal à x+1.

Il suffit d’étudier les fonctions différence: f(x)-x-1/3=(-x+2)/(2*(x+1)) qui est toujours positif car x appartient à (0;2)
Il suffit également d’étudier la fonction différence f(x)-x-1=(x²-x(x+1))/(x+1)=-x/(x+1) qui est toujours négatif.

 

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