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Correction d'un exercice

Par Olivier

Rédigé le 8 septembre 2009

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Enoncé
considerons la fonction g(x)=(x^2-12x+27)/(x^2-4x+5) resoudre ces deux inéquations 0.9 plus petit que g(x) plus petit que 1 et 1 plus petit que g(x) plus petit que 1.1

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Réponses

Réponse de notre équipe pédagogique :

Remarque préliminaire :

x²-4x+5 est toujours strictement positif car :

son delta est négatif, donc le trinôme est de signe constant
pour x=0, le trinôme est strictement positif

1) Ainsi, 0,9<g(x)<1 Û 0,9(x²-4x+5)<x²-12x+27<x²-4x+5

On a alors deux inéquations :

0<0,1x²-8,4x+22,5
-8x+22<0

Les racines de 0,1x²-8,4x+22,5=0 sont -0,027699095 et -0,812300905. Comme 0,1>0, on a alors 0,1x²-8,4x+22,5 sur ]-oo,-0,812] et sur [-0,027,+oo[

Ainsi, 0,9<g(x)<1 Û

x dans ]-oo,-0,812] U [-0,027,+oo[
x>22/8

Soit 0,9<g(x)<1 Û x>22/8 Û x>11/4

2) Ainsi, 1<g(x)<1,1 Û (x²-4x+5)<x²-12x+27<1,1(x²-4x+5)

On a alors deux inéquations :

0<-8x+22
0,1x²+7,6x-21,5>0

Les racines de 0,1x²+7,6x-21,5=0 sont 0,787308237 et -0,027308237. Comme 0,1>0, le trinome est positif à l’extérieur des racines, donc sur ]-oo, -0,027308237[U]0,787308237,+oo[.

Ainsi, 1<g(x)<1,1 Û

x<22/8
x dans ]-oo, -0,027308237[U]0,787308237,+oo[.

Soit 1<g(x)<1,1 Û x dans ]-oo, -0,027308237[U]0,787308237,11/4[.

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Olivier

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