Sujet et solution

Enoncé
Dans un repère orthonormal ,H est la courbe représentant la fonction f définie sur ] 0 ; +infini[ par : f(x)= 4/(x racine de 3)
X est un réel appartenant à ]0 ;+infini[,et M est un point de H d’abcsisse x.La perpendiculaire en M à (OM) coupe l’axe des abcsisses au point K.Trouvez les coordonnées de K en fonction de x .On note g(x) son abcsisse.

Etudiez la fonction g,puis déduisez-en que lorsque x varie dans ]0 ;+infini[ , la distance OK reste toujours minorée par un nombre que vous préciserez.

Calculez l’aire S(x) du triangle OMK en fonction de x.Quelle est la limite de cette aire quand x tend vers +infini ?

Pourriez vous me donner seulement des pistes pour les dernières questions ( je sais comment étudier la fonction g )mais m’expliquer la première.

Pistes
Pourrait on pour la première question écrire OM.MK=0
 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

On a effectivement OM.MK=0

Or les coordonnées de OM sont (x,f(x)) et celles de MK sont (x-g(x);f(x)-0)

On a alors OM.MK=0 Û x.(x-g(x))+f(x).f(x)=0

Û x²-xg(x)+16/3x²=0
Û xg(x)=x²+16/3x²
Û g(x)=x+16/3x^3

Pour la question suivante, il faut montrer que g est minorée par un nombre à déterminer.

L’aire du triangle est b.h/2=g(x).f(x)/2

 

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Maelys

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