Enoncé

ABCD est un quadrilatère convexe. On appelle I et J les milieux respectifs de [AD] et de [BC].

1°) Placer les points M et N définis par : vecteur AM = 1\3 de vecteur AB et Vecteur DN = 1\3 de vecteur DC.
Montrer que M est le barycentre des deux points pondérés (A;2) (B;1) puis que N est le barycentre des deux points pondérés (D;2) (C;1).

2°) Le but de cette question est de démontrer que le milieu de [MN] est un point de la droite (IJ) et de préciser la position de ce point sur (IJ). Soit G le barycentre des quatres points pondérés (A;2) (B;1) (C;1)(D;2).
Montrer que G est le milieu de [MN], puis que G est le barycentre des deux points pondérés(I;2)(J;1). Conclure.

3°) Soit k un réel. On considère les moints M et N définis par : vecteur AM = k* vecteur AB et k* vecteur DC. Quel est l’ensemble des milieux I de (MN) lorsque k décrit l’intervalle [0;1] ?

 

Réponse de notre équipe pédagogique

 

Bonsoir,

Voici la réponse à tes questions :

1)

Pour le placement des points, M et N, cf. figure (cela ne pose aucun problème et il n'y a rien à expliquer)

Par la suite, nous noterons les vecteurs en italique...

On a AM=1/3AB

Soit AM=1/3(AM+MB)

Soit 2/3AM=1/3MB

Soit (en multipliant par 3) 2AM=MB

Soit 2MA+MB=0

Ceci est la définition du barycentre : M est bien le barycentre de (A,2);(B,1)

De même :

On a DN=1/3DC

Soit DN=1/3(DN+NC)

Soit 2/3DN=1/3NC

Soit (en multipliant par 3) 2DN=NC

Soit 2ND+NC=0

Ceci est la définition du barycentre : N est bien le barycentre de (D,2);(C,1)

2) On a 2GA+GB+GC+2GD=0

On sait (définition du barycentre) que, pour tout M, pMP+qMQ=(p+q)MG où G est le barycentre de (P,p);(Q,q)

On a alors 2GA+GB+GC+2GD=3GM+3GN (car M est le barycentre de (A,2);(B,1) et N est le barycentre de (D,2);(C,1))

Donc 3GM+3GN=0

Donc GM+GN=0 et G est bien le milieu de [MN]

De même On a alors 2GA+GB+GC+2GD=2GA+2GD+GB+GC=4GI+2GJ (car I est le barycentre de (A,2);(D,2) et N est le barycentre de (B,1);(C,1))

On a alors 4GI+2GJ=0

Soit 2GI+GJ=0

G est donc bien le barycentre de (I,2);(J,1)

G est à la fois le milieu de [MN] et un point de (IJ), donc le milieu de [MN] appartient à (IJ). De plus, on peut placer G sur le segment [IJ] (cf. figure)

3) On a maintenant AM=kAB et DN=kDC (k réel)

On reprend le même raisonnement que pour 1) et 2) :

On a AM=kAB

Soit AM=k(AM+MB)

Soit (1-k)AM=kMB

Soit (1-k)MA+kMB=0

Ceci est la définition du barycentre : M est le barycentre de (A,1-k);(B,k)

De même :

On a DN=kDC

Soit DN=k(DN+NC)

Soit (1-k)DN=kNC

Soit (1-k)ND+kNC=0

Ceci est la définition du barycentre : N est le barycentre de (D,1-k);(C,k)

Soit G le barycentre de (A,1-k);(B,k);(C,k);(D,1-k).

On a (1-k)GA+kGB+kGC+(1-k)GD=0

On a alors (1-k)GA+kGB+kGC+(1-k)GD=GM+GN (car M est le barycentre de (A,1-k);(B,k) et N est le barycentre de (D,1-k);(C,k))

Donc GM+GN=0 et G est le milieu de [MN]

De même On a alors (1-k)GA+kGB+kGC+(1-k)GD=(1-k)GA+(1-k)GD+kGB+kGC=(1-k)GI+kGJ

On a alors (1-k)GI+kGJ=0

G est donc le barycentre de (I,(1-k));(J,k)

Si k varie de 0 à 1, G décrit alors [IJ] : k et 1-k sont en effet tous deux positifs, donc G ne "sort" pas du segment. De plus, Si k=0, on a GI=0, soit G=I, etc...

 

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