Sujet et solution

Enoncé
ELLIPSE

2 points fixe F et F’ dont la distance est 2c et a un nombre superieur à c, on appelle ellipse de foyers F et F’, l’ ensemble des points M du plan tels que MF+MF’=2a. Le nombre c\a est centre exentricité.

1 .O milieu de [F’;F] dans un repère orthonormal (O ;i ;j), i et OF soient de même sens. Coordonnées de F sont (c ;0) et F’ sont (-c ;0)
Notons C le cercle de centre 0 et rayon a.
{x=cos t°
{y=sin t° t°E[0 ;2]
Notons b le nombre positif tel que : b2 =a 2-c2 2=carré
L’application f du plan dans lui-même qui à chaque point P associe le point M défini par HM= b\a HP, ou H désigne le projeté orthogonal sur l’axe des abscisses.
1.Demontrez que l’image de C par cette application est la courbe C’ définie paramétriquement par {x=a cos t°
{y=b sin t° , 0 E[0 ;2]
notons C’ cette courbe. Faite une figure et tracez cette courbe.

2.Nous allons démontrer que C’ est l’ellipse E de foyers F’ et F. Pour cela :
a)notez M un point quelconque de C’ de coordonnées (a cos t° ;b sin t°)
en utilisant l’égalité b2= a2-c2, prouver que :
FM2= a2-2(ici, un réel)ac cos t°+ c2 cos2 t°=(a-c cos t°)2
Puis, prouver que FM=a-c cos t°.Déduisez-en que M appartient à E.
Ainsi tout point de C’ est un point de E.
b) Nous admettrons ici la réciproque, à savoir que tout point de E est un point de C’ .Ainsi C’=E.

3.En utilisant le fait que la symétrie conserve les distances, prouvez que l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées sont des axes de symétrie de E. Les point A et A’ sont les sommets de l’ellipse, [AA’] en est le grand axe , [BB’] le petit axe (les notations sont celles de la figure)
2.Equation cartésienne de l’ellipse E
1.Vérifier que si M(x ;y) appartient à E, alors :
X2\a2 + Y2\b2=1
2.Réciproquement, on suppose que les coordonné(x ;y) d’un point M telles que x2\a2+y2\b2=1 [1]
Déduisez- en que –1 x\a 1 et –1 y\b 1.
En utilisant alors l’égalité [1], justifier l’existence d’un nombre t° dans [0 ;2] tel que x\a=cos t°, y\b=sin t°.
Et donc M appartient à E.
Conclusion : les points M(x ;y) de E sont caractérisés par le fait que x2\a2+y2\b2=1

3.La deuxième loi de Kepler énonce que toute planète tourne autour du Soleil en décrivant une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers. La trajectoire de la Terre tournant autour du Soleil est donc une ellipse. Cette trajectoire porte le nom d’écliptique.
Sachant que la longueur du grand axe est égale à 3x108km, et que l’excentricité est 0,017, on se propose de calculer la distance maximale Terre-Soleil et la distance minimale.
En utilisant l’égalité MF=a-c cos t° démontrée au paragraphe 1, déduisez que :
« Lorsque M décrit l’ellipse, la distance MF est maximale lorsque M se trouve à l’une des extrémités du grand axe de l’ellipse ; cette est minimale lorsque M se trouve à l’autre extrémités »

excentricité=distance de M à F\distance de M à d

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

Ellipse :

Je te signale quelques erreurs sur ton énoncé, je les ai corrigées, mais la prochaine fois fais attention, cela me prend plus de temps.

C : {x = acos t; y = asin t ; c’est t° qui appartient à [0; 2 Pi] et non pas 0 à [0;2]; HP = b/a HM sinon cela ne colle pas.

I.1) HM est l’ordonnée de M, HP celle de P : donc y’ = b/a (asin t) = a sin t ; l’abscisse reste inchangée.

On a donc bien C’ {acos t ; bsin t}

I.2) a) FM² = FH² + HM² car ce sont les projections de FM sur les axes x et y

Donc FM² = (c-acos t)² +b²sin²t = c² -2ac cos t + a²cos² t +b²sin²t = c² - 2ac cost +a²cos²t +(a²-c²)sin²t selon l’égalité donnée

FM² = c²(1-sin²t) -2ac cost +a²(cos²t+sin²t) = c²cos²t -2ac cos t + a² = (a-c cos t)² Donc comme FM est une distance donc positive, FM = a-c cos t

De même, F’M² = (c + acos t)² +b²sin²t = (a+ c cost)² après développement et simplification puis F’M = a+cos t

Donc FM + F’M = 2a donc M appartient à E

I.3) Le symétrique de F par rapport à Ox est F de même celui de F’ est F’ : donc comme la symétrie axiale conserve les distances, FM’ = FM et F’M’ = F’M (M’ est le symétrique de M par rapport à Ox). Donc FM’ +F’M’ = 2a et M’ appartient à E donc Ox est axe de symétrie pour E.

De même, le symétrique de F (respectivement F’) par rapport à Oy est F’ (respectivement F) donc par la même conservation des distances, FM’+ F4M’ = 2a .

D’où les symétries axiales par rapport à Ox et Oy

II.1) M(x = acos t; y= bsin t) donc x²/a² = cos²t et y²/b² = sin²t donc x²/a² +y²/b² = cos²t + sin²t = 1

II.2)si x²/a²+y²/b² =1; x²/a² <= 1-y²/b² <=1 car y²/b² >= 0 donc -1<=x/a<=1 et de même -1<=y/b<=1

comme cos t° est aussi compris entre -1 et 1, on peut écrire x/a = cost . Si on remplace alors dans x²/a² +y²/b² =1, on obtient (y/b)² = 1- cos²t soit y/² = sint

II.3) On a MF = a-cost distance au foyer F (le soleil ici) : MF est maximale pour cos t = -1 soit MF = a+c et M se trouvant en t=Pi : x= -a; y=0 : à l’autre bout de l’ellipse

MF est minimale pour cost = 1 donc t=0 et x=a, y=0

 

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Maelys

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