Sujet et solution

Enoncé
EX 1
DONNER LA FORME ALG2BRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES SUIVANTS :
A) 3+i/1-2i

B) 1+i/2-i

C) (1-i/1+i)²

D) i+(1/i)

ex 2
le plan étant rapporté au repère orthonormal (O,u,v) , placer de facon précise les point M1, M2 ,M3 et M4 dont les affixes sont données sous forme trigonométrique :

a) z1 = [4,-pi/6]

b) z2 = [1/4, pi/4]

c) z3 = [2racinecarre3,-2pi/3

d) z4 = [1, pi/2]

exo 3
déterminer la forme algébrique des nombres complexes de l’exercice 2

Merci

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

EX 1 DONNER LA FORME ALG2BRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES SUIVANTS :

A) 3+i/1-2i

(3+i)(1-2i)=(3+i)(1+2i)/((1-2i)(1+2i) = (3+6i+i-2)/(1+4)=(1+7i)/5

B) 1+i/2-i

(1+i)/(2-i)=(1+i)(2+i)/(2-i)(2+i)=(2+i+2i-1)/(4+1)=(1+3i)/5

C) (1-i/1+i)²

[(1-i)/(1+i)]²=[(1-i)(1-i)/(1+i)(1-i)]²=[(1+2i-1)/2]²=i²=-1

D) i+(1/i)

i+(1/i)=i+(-i/i.(-i))=i-i=0

ex 2 le plan étant rapporté au repère orthonormal (O,u,v) , placer de facon précise les point M1, M2 ,M3 et M4 dont les affixes sont données sous forme trigonométrique :
a) z1 = [4,-pi/6]

- on trace le cercle trigonométrique

- on trouve l’intersection I1 de la droite y=-1/2 et du cercle (cette intersection est le point d’affixe [1,-pi/6])

- on trace un cercle de rayon 4

- M1 est l’intersection de ce cercle et de la droite passant par O et par I1

b) z2 = [1/4, pi/4]

- on trace la première bissectrice du repère (pour cela :

  • on trace un cercle de centre O
  • on prend les intersections de ce cercle et des axes
  • on trace deux cercles à partir de ces intersections, de même rayon
  • ces deux cercles se coupent en deux points
  • O et ces deux points sont alignés : on les lie par la première bissectrice (droite de pente 45°=pi/4)

- M2 est l’intersection de cette droite et du cercle de centre O et de rayon 1/4

c) z3 = [2racinecarre3,-2pi/3

- on trace la prolongation de la droite qui a permis de placer M1 (car -2pi/3=pi/6+pi)

- M3 est l’intersction de cette droite et de la droite d’équ. x=-3 (cf ex suivant)

d) z4 = [1, pi/2]

M4 est le point de coordonnés (0,1)

exo 3 déterminer la forme algébrique des nombres complexes de l’exercice 2

On a z1=4.e^-ipi/6=4.(cos-pi/6+isin-pi/6)=4(V3/2-i/2)=2.V3-2i

z2=1/4.(cospi/4+isinpi/4)=1/4(V2/2+iV2/2)=V2/8+iV2/8

z3=2V3.(cos(-2pi/3)+isin(-2pi/3))=2V3.(-V3/2-i/2)=-3-iV3

z4=1.(cospi/2+isinpi/2)=i

 

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