Chapitres

Enoncé

Soit ABCD un tétraèdre régulier et a la mesure d'une arète:

1) Démontrer que deux arètes opposées du tétraèdre sont orthogonales (déjà fait)

2) La hauteur d du tétraèdre ABCD issue du sommet A coupe le plan (BCD) au point A'
a- Démontrer que A' est le centre de gravité du triangle BCD.
b- Calculer AA' en fonction de a en utilisant un triangle rectangle bien choisi.
c- En déduire le volume V du tétraèdre ABCD en fonction de a.

3) On note I et J les milieux respectifs des arètes [AB], [CD] et O celui du segment [IJ].
a- Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale aux droites (AB) et (CD).
b- Démontrer que O, A et A' sont alignés.
c- En exprimant les aires des triangles BIJ, BOI, puis BOJ, en fonction de l'aire du triangle ABJ, préciser la position du point O sur la droite (AA')

4) On note respectivement B', C' et D' les centres de gravité des triangles ACD, ABD et ABC.
a- Demontrer que les droites (AA'), (BB'), (CC') et (DD') sont concourantes en O.
b- Quelle particularité présente le tétraèdre A'B'C'D' ?

5)
a- Démontrer que O est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.
b- Calculer le rayon de cette sphère en fonction de a.
c- Déterminer une mesure en degré de l'angle AOB.

6) Soit P le plan médiateur du segment [IJ]
a- Démontrer que la section du tétraèdre ABCD par le plan P est un carré KLMN.
b- Quelle particularité présente l'octaèdre IKLMNJ ?

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