Énoncé

C est un cercle de centre O et A est un point exterieur a C.

1° Construire a la regle et au compas, les 2 tangentes a C issurs de A.justifier la construction.

2° Les 2 droites sont tangentes en S et T a C et la droite(OA) coupe le cercle en M et T .
calculer LES ANGLES DU QUADRILATERE MSNT en fonction de ^TAS=alpha.

Merci beaucoup

 

Réponse de notre équipe pédagogique

 

1) Les tangentes à C issues de A sont perpendiculaires au rayon de C.

On a ainsi OAS rectangle en S et OTA rectangle en T. Donc T et S appartiennent au cercle de diamètre [OA]. Pour tracer celui-ci :

  • tracer le cercle de centre A et de rayon [OA]
  • tracer le cercle de centre O et de rayon [OA]
  • tracer la droite passant par les intersections de ces cercles

Cette droite coupe (OA) en son milieu I. Nous pouvons alors tracer le cercle de centre I passant par O et A.

S et T sont enfin les deux intersections de ce cercle et de C.

2) On a :

^NSM=pi/2 (car NM est un diamètre de C)
^MTN=pi/2 (car NM est un diamètre de C)

^TAS=a

O est sur la bissectrice de ^TAS, donc ^TAO=^OAS=a/2

Comme ^OTA=pi/2 et ^ASO=pi/2, on a :

^SOM=^SOA=pi-pi/2-a/2=(pi-a)/2
^MOT=^AOT=pi-pi/2-a/2=(pi-a)/2

Or TOM est isocèles en 0. Donc ^TMO=^OTM=(pi-^MOT)/2=(pi+a)/4

Or SOM est isocèles en 0. Donc ^MSO=^OMS=(pi-^SOM)/2=(pi+a)/4

On a alors ^TMS=^TMO+^OMS=(pi+a)/2

Enfin, on sait que la somme des angles d’un quadrilatère est 2pi.

Donc ^SNT=2pi-^MSN-^TMS-^MTN=2pi-pi/2-pi/2-(pi+a)/2=(pi-a)/2

 

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