Exercice

Dans chacun des cas suivants, déterminer l'expression de f ° g puis celle de g ° f. On précisera le domaine de définition f, g, f ° g, et g ° f.

1. f(x)= 1/x-1       et g(x)=racine carré de (x+3)

2. f(x)= 4x+5       et g(x)= 1/racine carré de x2-4

Correction

1.Le domaine de définition de f est R (1) et le domaine de définition de g est [-3 ; +l'infinie[.

  • Soit D le domaine de définition de f ° g.

                                                                     f                                           g
Pour tout x contenu dans D, on a : f ° g : x  —→ racine carrée de (x+3) —→1/racine carré de (x+3) + 1

f ° g est défninie si et seulement si, racine carré de (x+3) ≠ 1 et x ≥ -3, soit si x+3 ≠ 1 et x ≥-3 ou encore si x  ≠ -2 et x ≥-3.
Le domaine de définition de f ° g est donc [-3 ; -2[ ∪ ] -2 ; +l'infinie[.

  • Soit D' le domaine de définition de g ° f.

                                                                    f                  g

Pour tout x contenu dans D', on a : g ° f : x —→ 1/x-1 —→ racine carrée de (1/x-1+3).

g ° f est définie si et seulement si 1/x-1 + 3 ≥ 0 et x ≠ 1, soit si et seulement si,

3x-2/x-1 ≥ 0 et x ≠ 1.

Etudions le signe de 3x-2/x-1 :

On en déduit que D' = ]-l'infinie ; 2/3 ] ∪ ] 1 ; +l'infinie[.

2.. Le domaine de définition de f est R.
Pour trouver le domaine de définition de g, il faut résoudre x2 - 4 > 0.

Or x2 - 4 = (x-2) (x+2). On en déduit le tableau de signes suivant :

Le domaine de définition de g est donc ]-l'infinie ; -2[∪]2 ; +l'infinie[.

  • Soit D le domaine de définition de f ° g.

Pour tout x appartenant à D, on a f ° g : x → 1/racine carrée de (x²-4) → 4 (1/racine carrée de (x²-4) ) + 5

Le domaine de définition de f étant R, pour tout x appartenant à ]-l'infinie ; -2[∪]2 ; +l'infinie[, g(x) appartient au domaine de définition de f. Donc le domaine de définition de f ° g est

D= l'infinie ; -2[∪]2 ; +l'infinie[.

  • Soit D' le domaine de définition de g ° f.

Pour tout x appartenant à D', on a g ° f : x → 4x+5 → 1/racine carré de l'ensemble [(4x+5)²-4]

D'après le tableau précédent, g ° f est définie, si et seulement si 4x + 5 appartient à
]-l'infinie ; -2[∪]2 ; +l'infinie[.

Donc si et seulement si    4x+5 < -2   ou  4x+5>2

soit encore                    x < 7/4         ou  -3/4

Donc D' = ]-l'infiinie ; 7/4[∪]-3/4 ; +l'infinie[.

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Mathieu

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