Enoncé

1 - Résultat préliminaire : ’’ le théorème des gendarmes ’’

Dans un repère orthogonal, construire la courbe représentative d’une fonction f définie sur [0 ; + l’infini [ telle que pour tout réel x positif, f (x) est inférieur ou égal à 1 et lim de f (x) quand x tend vers + l’infini est égale à 1. Sur le même graphique, construire la courbe représentative d’une fonction g définie sur [0 + l’infini [ telle que pour tout réel x positif, f (x) est inférieur ou égal à g (x) qui est inférieur ou égal à 1. Peut-on en déduire la limite de g en + l’infini ?(justifier graphiquement).

Sur le cercle trigonométrique plaçons le point M tel que (vecteur OI, vecteur OM) = h. Appelons m l’abscisse de M. Soit I le point de coordonnées I(1 ; 0). Soit le point T de la droite (OM) tel que OIT est un triangle rectangle.

2 – Si h appartient à J = ]0 ; pi/2)[ . En considérant les aires des triangles OIM et OIT ci-dessous et l’aire du secteur circulaire OIM, démontrer que : sin h est inférieur ou égal à h qui est inférieur ou égal à sin h/cos h et en déduire que pour tout h de J on a : cos h inférieur ou égal à sin h / h qui est inférieur ou égal à 1.

3 – Si h appartient à J’ = ]-pi/2 ; 0[ posons h’ = - h . Démontrer alors avec le résultat de la question 2 que : cos h’

est inférieur ou égal à sin h’ / h’ qui est inférieur ou égal à 1 et en déduire que pour tout h de J’ on a : cos h est inférieur ou égal à sin h / h qui est inférieur ou égal à 1.

Conclusion : il résulte des questions 2 et 3 que pour tout h appartient à J réunion J’ on a : cos h inférieur ou égal sin h / h inférieur ou égal à 1.

4 – En utilisant le résultat des questions précédentes, démontrer que lim de sin h / h quand h tend vers 0 est égale à 1.

5 – Démontrer que pour tout h de J réunion J’ on a : [ 1/(1 + cos h) ] multiplié par (sin h / h)2 = (1 – cos h) / h2 et en déduire que lim de (1 – cos h) / h quand h tend vers 0 est égale à 0.

Merci beaucoup !

 

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Réponse de notre équipe pédagogique

 

1 - Résultat préliminaire : ’’ le théorème des gendarmes ’’ Dans un repère orthogonal, construire la courbe représentative d’une fonction f définie sur [0 ; + l’infini [ telle que pour tout réel x positif, f (x) est inférieur ou égal à 1 et lim de f (x) quand x tend vers + l’infini est égale à 1. Sur le même graphique, construire la courbe représentative d’une fonction g définie sur [0 + l’infini [ telle que pour tout réel x positif, f (x) est inférieur ou égal à g (x) qui est inférieur ou égal à 1. Peut-on en déduire la limite de g en + l’infini ?(justifier graphiquement).

Je vous laisse faire le dessin.

On a, pour tout x de IR+, f(x)<= g(x) <= 1

Comme lim en +oo f(x)=1, on a, d’après le théorème des gendarmes :

lim(+oo) g(x)=1

En cours de maths en ligne, sur le cercle trigonométrique plaçons le point M tel que (vecteur OI, vecteur OM) = h. Appelons m l’abscisse de M. Soit I le point de coordonnées I(1 ; 0). Soit le point T de la droite (OM) tel que OIT est un triangle rectangle.

2 – Si h appartient à J = ]0 ; pi/2)[ . En considérant les aires des triangles OIM et OIT ci-dessous et l’aire du secteur circulaire OIM, démontrer que : sin h est inférieur ou égal à h qui est inférieur ou égal à sin h/cos h et en déduire que pour tout h de J on a : cos h inférieur ou égal à sin h / h qui est inférieur ou égal à 1.

Graphiquement, on a :

Aire(OIM)<= Aire(secteur circulaire OIM) <= Aire (OIT)

On appele M’ le projeté orthogonal de M sur (Ox).

Aire(OIM)=OI.MM’/2=1.sinh/2

En cours de math, l’aire du cercle trigonométrique est pi.r² avec r=1, soit pi.

L’aire du secteur circulaire est donc h/(2pi) x pi = h/2 (h/2pi est la proportion du cercle représentée par l’angle h).

Enfin, calculons Aire(OIT).

Aire(OIT)=OI.IT/2

Or OI=1 et, d’après le théorème de Thalès, on a IT/MM’=IO/M’O

Soit IT=1/cosh x sinh=sinh/cosh

Au total, on a Aire(OIT)=sinh/2cosh.

Les raisonnements utilisés étant valables pour tout h.

Pour tout h, sinh/2 <= h/2 <= sinh/2cosh

Soit sinh <= h <= sinh/cosh, pour tout h.

Le premier membre de l’inégalité nous donne sinh/h <= 1 (car h est positif)

Le second membre nous donne cosh. h <= sinh (car cosh est positif si h est dans J, donc on ne change pas le signe de l’inégalité).

Et donc cosh <= sinh/h (car h est positif).

On a finalement, pour tout h de J, cosh <= sinh/h <= 1

3 – Si h appartient à J’ = ]-pi/2 ; 0[ posons h’ = - h . Démontrer alors avec le résultat de la question 2 que : cos h’ est inférieur ou égal à sin h’ / h’ qui est inférieur ou égal à 1 et en déduire que pour tout h de J’ on a : cos h est inférieur ou égal à sin h / h qui est inférieur ou égal à 1. Conclusion : il résulte des questions 2 et 3 que pour tout h appartient à J réunion J’ on a : cos h inférieur ou égal sin h / h inférieur ou égal à 1.

Si h est dans J’, h’ est dans J, donc cosh’ <= sinh’/h’ <= 1

Soit cos(-h)<=sin(-h)/(-h)<=1

En utilisant la parité/imparité de sinus et cosinus, on obtient :

Pour tout h de J’, cosh<= -sinh/(-h) <= 1

Soit cosh<=sinh/h<=1

Donc, pour tout h de JUJ’, cosh<=sinh/h<=1

4 – En utilisant le résultat des questions précédentes, démontrer que lim de sin h / h quand h tend vers 0 est égale à 1.

cos h tend vers 1 quand h tend vers 0.

D’après le théorème des gendarmes, comme, pour h dans ]-pi/2,pi/2[ on a cosh<=sinh/h<=1, alors

Lim(0) sinh/h=1

5 – Démontrer que pour tout h de J réunion J’ on a : [ 1/(1 + cos h) ] multiplié par (sin h / h)2 = (1 – cos h) / h2 et en déduire que lim de (1 – cos h) / h quand h tend vers 0 est égale à 0. Merci beaucoup !

Pour tout h de JUJ’, on a 1/(1+cosh) x (sinh/h)²=(1-cosh)/(1+cosh)(1-cosh) x (sinh/h)² = (1-cosh)/(1-cos²h) x (sinh/h)²

= (1-cosh)/sin²h x (sinh/h)² = (1-cosh)/h²

On a alors (1-cosh)/h=h. 1/(1+cosh) x (sinh/h)²

Or lim(0) (sinh/h)²=1

Et lim(0) 1/(1+cosh)=1/2

Enfin lim(0) h = 0

Donc on a bien lim(0) (1-cosh)/h = 0.1/2.1=0

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !