Exercices

Exercice 1

Soit f la fonction définie par f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x

  1. 1. Donner le domaine de définition de la fonction f
  2. 2. Déterminer les variations de f
  3. 3.  La courbe C,  représentative de la fonction f dans un repère orthonormé admet-elle une tangente égal à 2 ?

Exercice 2 :

Soit f la fonction de variable réelle x définie sur ]-1;+[ par f(x)=\frac{(2x^{2}+4x-1)}{(x+1)^{2}}

On appelle C sa courbe représentative. Soit D la droite d'équation y = \frac{1}{x+1}. On cherche les points de C où la tangente est parallèle a D. Déterminer la ou les abscisses des points répondant à la question.

Exercice 3 :

On veut installer une rampe métallique en pente douce permettant de faire franchir une marche à des chariots .
A- elle doit etre tangente au sol au point B(1;0)
B- elle doit être tangente au dessus de la marche au point H(0;1/2)
Dans tout le problème, on considère le plan rapporté au repère orthonormal (O;vecteur i; vecteur j)
Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l'allure de la rampe et vérifient les conditions de l'énoncé.

Question A:
Une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir? Pourquoi?

Question B:
1) Une fonction polynôme du second degré peut-elle convenir? Pourquoi?
2) On cherche alors si la rampe peut être constituée par deux arcs de paraboles P1 et P2, P1 ayant pour sommet H et P2 ayant pour sommet B, P1 et P2 ayant pour point commun le point I milieu de [BH].
a) Calculer les coordonnées de I
b) On pose f(x)=ax²+bx+c. Déterminer a,b et c pour que la courbe représentative P1 de f vérifie les conditions suivantes : P1 passe par H, P1 passe par I et P1 admet une tangente horizontale en H.
c)  On pose f(x)=ax²+bx+c. Déterminer a,b et c pour que la courbe représentative P2 de f vérifie les conditions suivantes : P2 passe par B, P2 passe par I et P2 admet une tangente horizontale en B.

 

Corrigés

Exercice 1

  1. f étant une fonction polynomiale, le domaine de définition de la fonction f est définie et dérivable sur R.
  2. On calcule la dérivée de f : f'(x) = 6x^{2} + 6x -12. Afin de déterminer les variations de la fonction f, on doit résoudre l'équation :

f'(x) = 0 \Leftrightarrow  6x^{2} + 6x -12 = 0 \Leftrightarrow  x^{2} + x -2 = 0

\triangle = 1^{2} - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9  x_{1} = \frac{-1-\sqrt{9}}{2*1} =\frac{-4}{2} = -2 ,       x_{2} = \frac{-1+\sqrt{9}}{2*1} = \frac{2}{2} = 1

D'après les résultats de cette équation, f'(x) est positif sur ]-∞;-2] et sur [1;+∞[ et est négative sur ]-2;1[.

On calcule les valeurs pour x=-2 et x=1 pour compléter le tableau de variation :

f(-2) = 2*(-2)^{3} + 3*(-2)^{2} - 12*(-2) = 2*(-8) + 3*4 +24  = -16 + 12 + 24 =20

f(1) = 2*(1)^{3} + 3*(1)^{2} - 12*(1) = 2 + 3 - 12 = -7

On calcule désormais les limites en - et + :

\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x^{3} + 3x^{2} - 12x = \lim_{x \rightarrow -\infty} x^{3}(2+\frac{3}{x} - \frac{12}{x^{2}}) } = -\infty

 

\lim_{x \rightarrow +\infty} 2x^{3} + 3x^{2} - 12x = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^{3}(2+\frac{3}{x} - \frac{12}{x^{2}}) = +\infty

 

x-∞.....................-2-2...............................11.........................+∞
f'(x)+-+
f(x)

3. On cherche s'il existe un réel x, tel que f'(x) = 2. Pour cela, on doit résoudre l'équation :

6x^{2} + 6x -12 = 2 \Leftrightarrow  6x^{2} + 6x -14 = 0 \Leftrightarrow  3x^{2} + 3x -7 = 0

On calcule le discriminant :

\triangle = 3^{2} - 4*3*(-7) = 9 + 84 = 93

Le discriminant étant positif, cela veut dire qu'il existe deux solutions à cette équation. Il existe donc au moins un réel x tel que f'(x) = 2. En d'autres termes, la courbe C, représentative de la fonction f admet une tangente égale à 2.

Comment dessiner les courbes polynomiales de degré 3 ? Courbe de la fonction f

 

Exercice 2 :

La fonction f est définie et dérivable sur ]-1;+[ et est sous la forme f(x) = u/v avec u = 2x^{2}+4x-1 et v= (x+1)^{2}. On calcule dans un premier temps la dérivée de u et v :

u' = 4x+4 et v' = 2(x+1) = 2x+2

On calcule la dérivée de la fonction f :

f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^{2}} =

 

\frac{(4x+4)(x+1)^{2} -  (2x^{2}+4x-1)(2x+2)}{(x+1)^{4}} =  On remplace u,v,u' et v' par les valeurs correspondantes

 

\frac{(4x+4)(x+1)^{2} -  2(2x^{2}+4x-1)(x+1)}{(x+1)^{4}} = On factorise le 2

 

\frac{(x+1)((x+1)(4x+4)-  2(2x^{2}+4x-1)}{(x+1)^{4}} = On factorise par x+1

 

\frac{(x+1)(4x+4)-  2(2x^{2}+4x-1)}{(x+1)^{3}} = On simplifie par x+1 au numérateur et au dénominateur

 

\frac{4x^{2} + 8x +4-  4x^{2}-8x+ 2}{(x+1)^{3}} =  On enlève les membres qui s'éliminent deux à deux

 

\frac{6}{(x+1)^{3}}

 

Maintenant que l'on a le résultat, on peut résoudre l'équation f'(x) = \frac{1}{x+1} :

f'(x) = \frac{1}{x+1}  \Leftrightarrow

 

\frac{6}{(x+1)^{3}} =  \frac{1}{x+1}  \Leftrightarrow

 

\frac{6}{(x+1)^{2}} =  1 \Leftrightarrow

 

(x+1)^{2} = 6 \Leftrightarrow

x^{2} + 2x + 1 - 6 = 0 \Leftrightarrow

x^{2} + 2x -5 = 0

On calcule le discriminant :

\triangle = 2^{2} - 4*1*(-5) = 4 + 20 = 24

On obtient les 2 valeurs :

x_{1} = \frac{-2-\sqrt{24}}{2*1} =\frac{-2-\sqrt{24}}{2} ,      x_{2} = \frac{-2+\sqrt{24}}{2*1} = \frac{-2+\sqrt{24}}{2}

 

Il existe donc deux abscisses de points x1 et x2 répondant à la question, à savoir :

x_{1} = \frac{-2-\sqrt{24}}{2} et x_{2} = \frac{-2+\sqrt{24}}{2}

 

Exercice 3

Question A : On a deux points B(1;0) et H(0;1/2). On sait qu'avec seulement deux points cela va forcément tracer une droite. Or le tracé d'une droite correspond à une fonction affine sous le format f(x) = ax + b avec a,b qui appartiennent à R. Une fonction polynomiale du premier degré peut donc convenir.

Afin d'aller plus loin, on va chercher justement quelle serait la bonne fonction polynomiale avec nos deux points. Pour cela, il va nous falloir déterminer deux éléments : l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur.

Premièrement, concernant le calcul du coefficient directeur (la variable a), il se calcule grâce à la formule suivante : a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}.

D'où a= \frac{\frac{1}{2}-0}{0-1} = \frac{\frac{1}{2}}{-1} = \frac{-1}{2}

Une fois que l'on a calculé le coefficient directeur, il nous reste à trouver le point b, à savoir l'ordonnée à l'origine. Or cette ordonnée se trouve via le point H(0;1/2). Ainsi l'ordonnée à l'origine est donc égale à -1/2.

On obtient ainsi la fonction polynomiale de degré 1 : f(x) = \frac{-1}{2}x+\frac{1}{2}

A quoi ressemble une fonction affine ? Schéma de la fonction polynomiale de degré 1

Question B : 

  1. 1. Afin de savoir si une fonction polynomiale de degré 2 peut convenir, il faut savoir si cette fonction peut passer par les points B et H. Pour cela, nous devons résoudre l'ensemble d'équation :

\begin{cases} & f(1) = 0\\ & f(0) = 0.5\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} & a*1^2+b*1+c = 0\\ & a*0^2+b*0+c = 0.5\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} & a+b+c = 0\\ & c = 0.5\end{cases} \Leftrightarrow   \begin{cases} & a+b = -0.5 \\ & c = 0.5\end{cases}

Or, il existe une infinité de cas pour lequel a+b  = -0.5. Une fonction polynomiale de degré 2 peut donc convenir.

Par exemple avec a = 2 et b = -2.5, on obtient un polynome cohérent. Ainsi la fonction f(x) = 2x^{2} - 2.5x + 0.5 est une fonction polynomiale de degré 2 qui réponds à notre problématique.

  1. 2. a) On a B(1;0) et H(0;1/2). On obtient le mileu I de [BH] via les formules suivantes :

x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} et y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}

D'où x_{I} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2} et y_{I} = \frac{0+1/2}{2} = \frac{1}{4}

On en déduit le point I(1/2;1/4).

  1. 2.b) Pour trouver la courbe représentative de P1, il faut traduire la demande sous forme d'équation :

P1 passe par H f(0) = 1/2

P1 passe par I f(1/2) = 1/4

P1 admet une tangente horizontale en H   f'(0) = 0

On calcule la dérivée f : f'(x) = 2ax + b

\begin{cases} & a*0^2+b*0+c = 1/2\\ & a*(1/2)^2+b*(1/2) + c = 1/4\\ & 2a*0+b = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & c = 1/2\\ & a*(1/4)+b*(1/2) + 1/2 = 1/4 \\ & b = 0\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} & c = 1/2\\ & a*(1/4)+ 1/2 = 1/4 \\ & b = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & c = 1/2\\ & a = -1 \\ & b = 0\end{cases}

La courbe représentative de P1 est donc  f(x) = -x^{2} + 1/2

Comment dessiner une courbe parabolique ? Courbe représentative de P1

 

 

  1. 3.c) On fait la même chose qu'avec la question b pour résoudre le problème, à savoir :

P2 passe par B f(1) = 0

P2 passe par I f(1/2) = 1/4

P2 admet une tangente horizontale en B f'(1) = 0

D'où :

\begin{cases} & a*1^2+b*1 + c = 0\\ & a*(1/2)^2 + b*(1/2) + c = 1/4 \\ & 2a*1 + b*1 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & a+b + c = 0\\ & a*(1/4) + b*(1/2) + c = 1/4 \\ & 2a + b = 0\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} & c-a = 0\\ & a*(1/4) + b*(1/2) + c = 1/4 \\ & b= -2a\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & a = c\\ & a*(1/4) + (-2a)*(1/2) + a = 1/4 \\ & b= -2a\end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} & a = c\\ & a = 1 \\ & b= -2a\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & c = 1\\ & a = 1 \\ & b= -2\end{cases}

La courbe représentative de P2 est donc  f(x) = x^{2} -2x + 1

Comment dessiner une fonction polynomiale de degré 2 ? La courbe de la fonction polynomiale P2

 

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