Sujet et solution

Enoncé
Exercice 1 (3,5 points)
ABC est un triangle.
1) construire le barycentre G de (A,2), (B,3) et (C,1).
2) Soit D, le milieu du segment [BC]
Montrer que vecteurGD=1/2(vecteurGB+vecteurGC)
3) En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABD.

Exercice 2 ( 7 points )
Etant donné un rectangle ABCD, on appellera E et F les points définis par :
VectAE=3vectAD et vectBF=3/2vect BF
1) Déterminer des réels a,b,c,d tels que le point D soit me barycentre de (A,a), (E,b) et que le point C soit le barycentre de (B,c), (F,d).
2) Soit G le barycentre de (A,2) (B,2), (E,1) et (F,4). Montrer que G appartient à la droite (DC).
3) a) Montrer vectDE =-2vectCB
b) en déduire que G est le barycentre de E et de B affectés de coefficient que l’on précisera.
c) Montrer que les trois droites (AF), (DC) et (BE) sont concourantes.
4) Soit I le milieu de [AB]. La droite (IG) coupe la droite (EF) en un point J. Déterminer le réel k tel que vectFJ=k vectFE. (Considerer le barycentre J’ de (E,1), (F,4) et prouver que J’=J.)

Exercice 3 (5 points)
On considère un parallélogramme ABCD et les points E et F définis par vectDF=2/3vectAB et vectAE=3/4 vectAD.
La parallèle à (AD) passant par F coupe la parallèle à (AB) passant par E en G.
On se propose de montrer que les droites (AF), (CE), et (BG) sont concourantes. Pour cela : on suppose le plan rapporté au repère (A, vectAB, vectAD)
1) Donner les coordonnés des points A, B, C, D, E, F, G.
2) Déterminer une équation de la droite (AF) et une équation de la droite (CE). En déduire les coordonnées de leur point d’intersection I.
3) Démontrer que le point I appartient à la droite (BG).
4) On suppose dans cette question que vectAE=-1/2vectAD, tous les autres points étant définis comme ci-dessus. Que dire alors des droites (AF), (CE) et (BG).

Exercice 4 (4,5 points)
On se propose dans cet exercice de déterminer l’ensemble des entiers relatifs x et y, de valeur absolue inférieure ou égale à 3 tels que x(x+2)=(y-1)(y+1) (1)
1) Montrer que la relation (1) est vrai si et seulement si :
(x+1-y)(x+1+y)=0
2) tracer dans le plan muni d’un repère orthonormé (0, vect i, vect j ), les droites (D1) et (D2) d’équation respectives y=x+1 et y=-x-1
3) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du problème posé.
4) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du système {x au carré-y au carré+2x+1supérieur ou égal à 0
Valeur absolue de x inférieur ou égal à 3
Valeur absolue de y inférieur ou égal à 3

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

Exercice 1 (3,5 points) ABC est un triangle.

1) construire le barycentre G de (A,2), (B,3) et (C,1).
On construit d’abord le barycentre partiel G’ de (B,3), (C,1) puis on construit le barycentre de (A,2), (G’,4)

2) Soit D, le milieu du segment [BC] Montrer que vecteurGD=1/2(vecteurGB+vecteurGC)
GB+GC=GD+DB+GD+DC=2GD+DB+DC. Or D milieu de BC, donc DB+DC=0
Donc : vecteurGD=1/2(vecteurGB+vecteurGC)

3) En déduire que G est le centre de gravité du triangle ABD.
GA+GB+GD=GA+GB+1/2GB+1/2GC=GA+1,5GB+0,5GC=1/2*(2GA+3GB+GC)=0 car G barycentre de (A,2), (B,3) et (C,1).

Exercice 2 ( 7 points )

Etant donné un rectangle ABCD, on appellera E et F les points définis par : VectAE=3vectAD et vectBF=3/2vect BF ( qu’est-ce ce que cela veut dire ?) Je considère que c’est 3/2BC

1) Déterminer des réels a,b,c,d tels que le point D soit me barycentre de (A,a), (E,b) et que le point C soit le barycentre de (B,c), (F,d).
Par exemple : a=1 et b=2
Par exemple : c=2 et d=1

2) Soit G le barycentre de (A,2) (B,2), (E,1) et (F,4). Montrer que G appartient à la droite (DC).
Il faut considérer le repère (A, AB, AD), calculer les coordonnées des points A, B, E, F, D, C.
On trouve alors facilement les coordonnées de G et on prouve qu’il vérifie l’équation de (DC)

3) a) Montrer vectDE =-2vectCB
De façon évidente, vectDE=-2DA. Comme CB=DA, on trouve immédiatement le résultat.

b) en déduire que G est le barycentre de E et de B affectés de coefficient que l’on précisera.
2GA+2GB+GE+4GF=0 2GE+2EA+2GB+GE+4GB+4BF=0
Soit 3GE+6GB=0 car 2EA+4BF=0
soit G barycentre de (E,1), (B,2)

c) Montrer que les trois droites (AF), (DC) et (BE) sont concourantes.
Oui, nous avons démontré à la première questio qu’elles se coupaient en G

4) Soit I le milieu de [AB]. La droite (IG) coupe la droite (EF) en un point J. Déterminer le réel k tel que vectFJ=k vectFE. (Considerer le barycentre J’ de (E,1), (F,4) et prouver que J’=J.)
Il suffit la encore d’utiliser le repère (A, AB, AD), comme on a les coordonnées de I, G, E et F on peut trouver les coordonnées de J ( intersection des 2 droites). Les coordonnées de J indiquent ensuite que J est barycentre de (E,1), (F,4)

Exercice 3 (5 points)

On considère un parallélogramme ABCD et les points E et F définis par vectDF=2/3vectAB et vectAE=3/4 vectAD. La parallèle à (AD) passant par F coupe la parallèle à (AB) passant par E en G. On se propose de montrer que les droites (AF), (CE), et (BG) sont concourantes. Pour cela : on suppose le plan rapporté au repère (A, vectAB, vectAD)

1) Donner les coordonnés des points A, B, C, D, E, F, G.
A(0,0) B(1,0) C(1,1), D(0,1) E(0,3/4) F(2/3,1) G(2/3,3/4)

2) Déterminer une équation de la droite (AF) et une équation de la droite (CE). En déduire les coordonnées de leur point d’intersection I.
(AF):y=3/2x
(CE) : y=x/4+3/4
I(3/5, 9/10)

3) Démontrer que le point I appartient à la droite (BG).
(BG): y=-9/4x+9/4
I vérifie bien l’équation de la droite

4) On suppose dans cette question que vectAE=-1/2vectAD, tous les autres points étant définis comme ci-dessus. Que dire alors des droites (AF), (CE) et (BG).
Elles sont encore concourantes. Il faut changer les coordonnées de E, I et G et refaire le même raisonnement.

Exercice 4 (4,5 points)

On se propose dans cet exercice de déterminer l’ensemble des entiers relatifs x et y, de valeur absolue inférieure ou égale à 3 tels que x(x+2)=(y-1)(y+1) (1)

1) Montrer que la relation (1) est vrai si et seulement si : (x+1-y)(x+1+y)=0
Il suffit de développer (x+1-y)*(x+1+y) et montrer que l’on tombe sur le même résultat qu’en développant x(x+2)-(y-1)(y+1)

2) tracer dans le plan muni d’un repère orthonormé (0, vect i, vect j ), les droites (D1) et (D2) d’équation respectives y=x+1 et y=-x-1

3) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du problème posé.
Pour qu’un couple (x,y) soit solution, il faut que x+1-y=0 ou que x+1+y=0. Les solutions du problèmes sont donc l’ensemble des points des deux droites et inclus dans un carré de coté 6 cm, centré sur l’origine.

4) Trouver, graphiquement, toutes les solutions du système {x au carré-y au carré+2x+1supérieur ou égal à 0 Valeur absolue de x inférieur ou égal à 3 Valeur absolue de y inférieur ou égal à 3
Il faut donc que (x+1-y)*(x+1+y) soit positif.
Soit (x+1-y) >0 et (x+1+y)>0 ( intersection de deux zones hachurés du plan situés au dessus des droites avec le carré de côté 6 centré sur 0)
Soit (x+1-y) <0 et (x+1+y)<0 ( intersection de deux zones hachurés du plan situés au dessous des droites avec le carré de côté 6 centré sur 0) Bon courage et à bientôt, L’équipe de Keepschool

 

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