Exercice corrigé

Enoncé
Dans le chapitre sur les compositions de fonctions le but d'un certains type d'exercices est de décomposer une fonction et a partir d'un tableau appelé ''tableau de variation enchaîné'' nous devons trouver les variations de la fonction.
Je ne comprends pas la construction et l'analyse de ce tableau.
D'autre part il est possible connaissant les variations d'une fonction f de trouver au moyen d'un autre type de tableau les variations de 1/f ou |f| etc...
Je souhaiterais donc obtenir des explications sur ce type de tableau,principalement sur leur construction.
Merci.
 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

Le principe de ces exercices est le suivant : soit h=fog

  • si g est croissante sur I (càd : si x<x’ avec x et x’ dans I, alors g(x)<g(x’)) , alors :
    • si f est croissante sur g(I), fog est croissante sur I (car g(x)<g(x’) donc f(g(x))<f(g(x’))
    • si f est décroissante sur g(I), fog est décroissante sur I (car g(x)<g(x’) donc f(g(x))>f(g(x’))
  • si g est décroissante sur I (càd : si x<x’ avec x et x’ dans I, alors g(x)>g(x’)) , alors :
    • si f est croissante sur g(I), fog est décroissante sur I (car g(x)>g(x’) donc f(g(x))>f(g(x’))
    • si f est décroissante sur g(I), fog est croissante sur I (car g(x)>g(x’) donc f(g(x))>f(g(x’))

L’intérêt du tableau de "variations enchaînées" est de déterminer les variations de g et les variations de f pour trouver celles de fog.

Ex : pour x dans [-pi/2,pi/2], h(x)=cos(x²)

h=fog avec f(x)=cosx et g(x)=x²

On a g décroissante sur [-pi/2,0] et croissante ensuite.

Or g([-pi/2,0])=[0,pi²/4] et g([0,pi/4])=[0,pi²/4]

Comme pi>pi²/4>0, cos est décroissante sur [0,pi/4]

Donc h est croissante sur [-pi/2,0], décroissante ensuite.

Tableau :

x
-pi/2
0
pi/2
g(x)
pi²/4
décroissante
0
croissante
pi²/4
f(g(x))cos(pi²/4)
croissante
1
décroissante
cos(pi²/4)

Pour dresser le tableau, il faut décomposer les intervalles de variation de g en intervalles sur lesquels f est continue et monotone : cela permet d’appliquer les théorèmes de composition vus ci-dessus.

Pour 1/f ou |f|, nous composons f par 1/x ou par |x|.

Ex :

x
-pi/2
0
pi/2
g(x)
pi²/4
décroissante
0
croissante
pi²/4
1/g(x)1/(pi²/4)
croissante
+inf
décroissante
1/(pi²/4)
x
-pi/2
0
pi/2
g(x)
pi²/4
décroissante
0
croissante
pi²/4
|g(x)|pi²/4
décroissante
0
croissante
pi²/4

 

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