Sujet et solution

Enoncé
Soit f definit par :f(x)=((-x^3)+(5x))/((x^2)+3)

-Determiner les réels a et b tel que pour tout x apparteneant à R, on est
f(x)=ax+((bx)/((x^2)+3))
-Montrer que f est impaire
-que peut on en deduire pour la courbe C représentative de f
-Montrer que f’(x)=(((x^2)+15)*(1-(x^2)))/(((x^2)+3)^2)

Je vous remercie d’avance pour une réponse détaillée .

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

Soit f definit par :f(x)=((-x^3)+(5x))/((x^2)+3) -Determiner les réels a et b tel que pour tout x apparteneant à R, on est f(x)=ax+((bx)/((x^2)+3)) -Montrer que f est impaire -que peut on en deduire pour la courbe C représentative de f -Montrer que f ’(x)=(((x^2)+15)*(1-(x^2)))/(((x^2)+3)^2) Je vous remercie d’avance pour une réponse détaillée .

on procède par identification : ax+bx/(x²+3) = (ax^3 +bx+3ax)/(x²+3) donc a =-1 et b+3 a = 5 ie b=5+3 = 8

f(x) =-x + 8x/(x²+3)

f(-x) = x -8x/((-x)²+3) = -(-x +8x/(x²+3) = -f(x) donc f est impaire. Donc la courbe de f sur R se déduit de celle sur IR+ par symétrie de centre 0

f est dérivable sur IR donc pour x E IR

f est de la forme u/v : sa dérivée est de la forme a + (u’v-v’u)/v²

f ’(x) = [(-3x²+5)(x²+3) - (-x^3 +5x)(2x)]/(x²+3)² = [-3x^4-9x²+5x²+15 +2x^4-10x²]/(x²+3)² = (-x^4 -14x² +15]/(x²+3)²

x=1 et x=-1 sont solutions évidentes de (-x^4 -14x²+15) donc on met en facteur (x+1)(x-1) = (x²-1)

-x^4-14x²+15 = (x²-1)(ax²+bx+c) = ax4^+bx^3 +(c-a)x²-c donc par identification : a=-1; c=-15, b=0

donc f’(x) = (x²-1)(-x²-15)/(x²+3)² = (1-x²)(x²+15)/(x²+3)²

 

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Maelys

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