Sujet et solution

Enoncé
1) f est la fonction définie sur ]0;+infini[ par f(x)=3/x.
Calculer le taux de variation de f entre 3 et 8.

2)f est la définie sur R par f(x)=7x²-3x+1.
Vérifier que, pour tout réel h, f(3+h)-f(3)=h(7h+39)
En déduire le taux de variation de f entre 3 et 3+h, puis le nombre dérivé de f en 3.

3) Un mobile se déplace sur un axe selon la loi horaire x(t)=t²+t où x(t) désigne l’abscisse du mobile à l’instant t.
Calculer son abscisse à l’instant t1=1, puis à l’instant t2=5.
Calculer sa vitesse moyenne entre t1 et t2.
Calculer la vitesse instantanée du mobile à l’instant t1 puis à l’instant t2.

Pistes
Pouvez vous me donner les détails des calculs, je comprends pas vraiment, pour le moment. Merci
 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

.Bonsoir,

 

Voici la réponse à vois questions.

1) le taux de variation de f entre 3 et 8 vaut:

(f(8)-f(3))/(8-3).

Or ( f(8)-f(3) )/(8-3) = (3/8 - 3/3)/5=(3/8 - 1)/5= -5/8/5= -1/8

2) f(x)=7x²-3x+1

f(3+h)=7(3+h)²-3(3+h)+1
f(3+h)=7(9+6h+h²)-9-3h+1
f(3+h)=63+42h+7h²-9-3h+1
f(3+h)=7h²+39h+55
f(3)=7x3² -3x3+1
f(3)=63-9+1
f(3)=55

Donc f(3+h)-f(3)=7h²+39h+55-55

f(3+h)-f(3)=7h²+39h=h(7h+39)

Le taux de variation de f entre 3 et 3+h vaut ( f(3+h)-f(3)/(3+h-3)=h(7h+39)/h=7h+39

2) x(t)=t²+t
x(t1)=x(1)=1²+1
=1+1=2

x(t2)=x(5)=5²+5
=25+5=30

Calculer sa vitesse moyenne entre t1 et t2

La vitesse moyenne vaut ( x(t2)-x(t1) )/(t2-t1)

soit (30-2)/(5-1)=28/4=7

Calculer la vitesse instantanée du mobile à l’instant t1 puis à l’instant t2.

La vitesse moyenne en t1 vaut lim x(t1+h)-x(t1-h)/2h ( quand h tend vers 0 )

x(t1+h)-x(t1-h)=(1+h)²+1+h-(1-h)²-(1-h)
=h²+2h+1+1+h-1-h²+2h-1+h=6h

x(t1+h)-x(t1-h)/2h =6h/2h=3

donc la vitesse instantanée en t1 vaut 3

La vitesse moyenne en t2 vaut lim x(t2+h)-x(t2-h)/2h ( quand h tend vers 0 )

x(t2+h)-x(t2-h)=(5+h)²+5+h-(5-h)²-(5-h)

=22h

x(t1+h)-x(t1-h)/2h =22h/2h=11

donc la vitesse instantanée en t2 vaut 11.

 

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