Enoncé

Voila l'enonce..(bonne chance) on considere un parallelogramme ABCD et on designe par C' le mileu de [AB] et par G le point d'intersection de [BD] et [CC'] on se propose de determiner des nombres reels a,b,c tels que:aAG*+bAC*+cAD*=0 (R). (j'ai mis * pour symboliser les vecteurs..)

1.Prouver que G satisfait a la relation: GA*+GB*+GC*=0 DEMONTRER que cette relation equivaut a : 3AG*-2AC*+AD*=0 appelee relation (2)

2/(3;-2;1)est un triplet de nombres reels tels que relation (R) satisfaite.. Indiquer 2 autres triplets qui satisfont aussi (R)

3/A chaque point M du plan (ABC)on associe le vecteur v*=3MG*-2MC*+MD*.Soit ensemble E des points M du plan (ABC) pours lesquels v* colineaires avec BC*
PROUVER que A et D appartienne a E
En utilisant la relation (2) exprimer combinaison vectorielle 3MG*-2MC*+MD* en fonction de MA* uniquement
Déduire que l'ensemble E est une droite que l'on caracetrisera (donner en 1 point et un vecteur directeur)..VOILA MERCI BCPPPPP

 

Réponse de notre équipe pédagogique

 

1) C’ est le milieu de [AB]. Soit I le milieu de [AC]. I appartient à (DB) (propriété des parallélogrammes).

Donc G appartient à (BI). (BI) et (CC’) sont deux médianes de ABC. Comme G est leur intersection, G est le centre de gravité du triangle et on a bien :

GA+GB+GC=0

De plus :

GA+GB+GC=0 Û GA+GA+AB+GA+AC=0

Û 3.GA+AB+AC=0
Û 3.AG-AB-AC=0
Û 3.AG-(AC+CB)-AC=0
Û 3.AG-2.AC-CB=0

Or CB=DA (parallélogramme)

Donc 3.AG-2.AC-CB=0Û 3.AG-2.AC+AD=0

On a bien GA+GB+GC=0 Û 3.AG-2.AC+AD=0

2) Tout multiple de ca triplet vérifie encore (R). On a donc (6,-4,2) et (-3,2,-1) qui sont solutions (par exemple)

3) On a 3AG-2AC+AD=0 (cf.1)

Or Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, donc à BC. A appartient donc bien à E

On a 3DG-2DC+DD=3DG-2DC

Ceci n’est pas colinéaire à BC, donc D n’est pas dans E...

On a : 3.AG-2.AC+AD=0

Ceci veut dire que A est le barycentre de (G,3),(C,-2) (D,1)

Or cette relation s’écrit aussi : pour tout M, 3MG-2MC+MD=(3-2+1)MA

Soit 3MG-2MC+MD=2MA

(Rappel : si G est le barycentre de (A,a) (B,b) alors il y a deux relations caractéristiques : aAG+bBG=0 pour tout point M, aAM+bBM=(a+b)GM)

Ainsi, comme (DA) est parallèle à (BC), l’ensemble des points M de (E) est l’ensemble des points de la droite (DA)...

 

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