La question et sa solution

Enoncé
1)

On considère un tétraèdre (ABCD), I, J, K, L, M, N les milieux respectifs de
[AB][CD][BC][AD][AC][BD], A’, B’, C’, D’ les centres de gravités des faces
(BCD),(ACD),(ABD), (ABC)

a) Démontrez que les segments joignant les milieux des arêtes opposées et un sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourantes. (!?!)

b) Démontrez que [A’B’] et [IJ] sont concourantes
c) Démontrez que (LD’) coupe le plan de la face (BCD) en E tel que (BDCE) soit un parallélogramme.
d) On note P le barycentre de (A,2) (B,1), Q celui de (C,4) (D,1) J’ le mileu de [PQ]

. Démontrez que les plans (ABJ’) et (CDJ’) sont sécants
. Démontrez que la droite d’intersection de ces deux plans coupe [AD] et [BC]
en R et S que l’on déterminera.

2)
Le plan P est rapporté à un repère othonormal (o,i,j). (je n’ai pas pu mettre les flèches)

M est un point de l’axe [ox) d’abscisse L(o < ou égal à L< ou égal à 3), N est un point de l’axe [ox) d’ordonnée positive tel que MN= 3.

J est le point de [MN] tel que MJ= 2

L’objectif est d’étudier la trajectoire de J quand l décrit [0;3]

Méthode 1: graphique (unité 5 cm) faire le dessin pour l Є {0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 2,8; 3 }

Méthode 2: étude d’une fonction

a) Calculez l’ordonnées de N, les cordonnées de J, en fonction de l en déduire l’expression de y en fonction de x

b)On considère f [0;1] -> R;
x -> 2V 1-x² [2 racine de (1-x au carré)]
démontrez que f est la composée de deux fonctions dont
g [0,1] -> R
x -> 1-x²

Etudier les variations de g puis celles de f. Tracer Cf (unité 5 cm)

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

1) On considère un tétraèdre (ABCD), I, J, K, L, M, N les milieux respectifs de [AB][CD][BC][AD][AC][BD], A’, B’, C’, D’ les centres de gravités des faces (BCD),(ACD),(ABD), (ABC)

a) Démontrez que les segments joignant les milieux des arêtes opposées et un sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourantes. (!?!)

Exemple : montrons que [AA’], [KL], [IJ] et [MN] sont concourants.

Soit G le centre de gravité du tétraèdre.

On a alors GA+GB+GB+GC=0

Soit GA+3GA’=0 (A’ est le barycentre de (B,1)(C,1)(D,1))

Donc G est sur (AA’) (en fait sur [AA’] car les coefficients sont de même signe)

On a, de même 2GL+2GK=0 (L est le barycentre de (A,1) et (D,1), etc.)

Donc G est sur (LK)(en fait sur [LK] car les coefficients sont de même signe)

On a, de même 2GN+2GM=0 (N est le barycentre de (B,1) et (D,1), etc.)

Donc G est sur (MN) (en fait sur [MN] car les coefficients sont de même signe)

On a, de même 2GI+2GJ=0 (I est le barycentre de (A,1) et (B,1), etc.)

Donc G est sur (IJ) (en fait sur [IJ] car les coefficients sont de même signe)

Donc G est sur ces 4 segments. Donc les 4 segments sont concourants et leur intersection est G.

Le même raisonnement peut-être réalisé pour B’ et C’...

b) Démontrez que [A’B’] et [IJ] sont concourantes

A "vue de nez", l’intersection des deux segments semble être le milieu de [A’B’]. Vérifions cela...

Soit G1 le milieu de [A’B’].

On a G1A’+G1B’=0 soit G1B+G1C+G1D+G1A+G1C+G1D=0 (en utilisant les propriétés des barycentres).

Soit G1A+G1B+2G1C+2G1D=0

Soit 2G1I+4G1J=0

G1 appartient donc à [IJ].

Donc [A’B’] et [IJ] sont concourants.

Remarque : il est souvent utile de partir de suppositions issues de la figure.

c) Démontrez que (LD’) coupe le plan de la face (BCD) en E tel que (BDCE) soit un parallélogramme.

Soit E le point d’intersection de (LD’) et (MK).

On a alors E bar(L,x)(D’,y) et E bar (D,a) (K,b) soit ;

xML+yMD’=(x+y)ME et aMD+bMK=(a+b)ME

soit 1/(x+y).(xML+yMD’)=1/(a+b).(aMD+bMK), pour tout M. Prenons M=G, point connu (cf.1)

On a alors x/(x+y)GL+y/(x+y).GD’-a/(a+b).GD-b/(a+b).GK=0

Comme on a de plus 1/2GK+1/2GL=0 et 3/4GD’+1/4GD=0 (cf.1), on en déduit :

  • x/(x+y)=-b/(a+b)
  • 3y/(x+y)=-a/(a+b)

Soit, en prenant par exemple x=1 et a=1 (possible de les prendre arbitrairement car les poids d’un barycentre peuvent être multipliés par un scalaire quelconque...

  • 1+b=-b(1+y)
  • (1+b)(3y)=-1-y

Il reste alors à résoudre ce système. Pour conclure, il faut montrer que b=-2a et que donc K est le milieu de [DK] (ce qui permet de dire que DBEC est un parallélogramme.

d) On note P le barycentre de (A,2) (B,1), Q celui de (C,4) (D,1) J’ le mileu de [PQ]. Démontrez que les plans (ABJ’) et (CDJ’) sont sécants.

Deux plans ayant un point en commun sont soit sécants soit confondus. Or J’ appartient aux deux et les deux plans sont distincts (car (AB) et (CD) ne sont pas coplanaires). Donc ils sont sécants.

Démontrez que la droite d’intersection de ces deux plans coupe [AD] et [BC] en R et S que l’on déterminera.

J’ est le barycentre de (P,1) et (Q,1), donc :

J’P+J’Q=0 Or :

2MA+MB=3MP

et 4MC+MD=5MQ

Soit 2J’A+J’B=3J’P

et 4J’C+J’D=5J’Q

Soit enfin :

2/3J’A+1/3J’B+4/5J’C+1/5J’D=0

Soit 13/15J’R+17/15J’S=0 avec R barycentre de (A,2/3) (C,4/5) et S bary de (B,1/3) et (D,1/5)

L’intersection des deux plans passe donc par les points R et S définis ci-dessus.

2) Le plan P est rapporté à un repère othonormal (o,i,j). (je n’ai pas pu mettre les flèches) M est un point de l’axe [ox) d’abscisse L(o < ou égal à L< ou égal à 3), N est un point de l’axe [ox) d’ordonnée positive tel que MN= 3. J est le point de [MN] tel que MJ= 2 L’objectif est d’étudier la trajectoire de J quand l décrit [0;3]

Méthode 1: graphique (unité 5 cm) faire le dessin pour l ? {0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 2,8; 3 }

Je te laisse le faire...

Méthode 2: étude d’une fonction
a) Calculez l’ordonnées de N, les cordonnées de J, en fonction de l en déduire l’expression de y en fonction de x

N a pour coordonnées (0,h), M a pour coordonnées (l,0).

On a MN=3, c’està dire :

3²=l²+h² soit h²=9-l²

Soit h=V(9-l²)

On a J(x,y) tel que MJ=2. On a alors x=1/3.l (cf. figure) et y=2/3h

Soit y=2/3h=2/3.V(9-l²)=2/3.V(9-9x²)=2/3.3.V(1-x²)=2.V(1-x²)

b)On considère f [0;1] -> R; x -> 2V 1-x² [2 racine de (1-x au carré)] démontrez que f est la composée de deux fonctions dont g [0,1] -> R x -> 1-x² Etudier les variations de g puis celles de f. Tracer Cf (unité 5 cm)

(je n’ai pas bien compris ce que vous avez écrit)

On a, pour tout x de [0,1], h(x)=(1-x²) appartenant à [0,1]. Donc goh est bien égal à f.

De plus, h est décroissante avec x (trivial).

g est la fonction 2.racine. Elle est donc croissante sur [0,1]. Comme h est décroissante sur [0,1] avec h(0)=1 et h(1)=0, on a :

f décroissante sur [0,1] avec f(0)=2 et f(1)=0

La courbe Cf est "globalement " la symétrique de la courbe de 2.Vx par rapport à l’axe des ordonnées (avec un décallage vers la droite).

 

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