Enoncé

ABCD est un parallélogramme tel que AB=3 et AD=2.
On construit les points E, F, G tels que :
Vecteur BE = 2 vecteurs DB
Vecteur CF = 5 vecteurs CA
Vecteur BG = 3 vecteurs AB
H est le point d’intersection des droites (BF) et (CG).
Le but de l’exercice est de préciser la position de H sur (CG).

a) Exprimer BF, BE, et BG (ce sont des vecteurs), uniquement à l’aide des vecteurs BA et BC.
b) Montrer que les points G, E, et F sont alignés.
c) Montrer que B est le barycentre de (G, 5), (C, 12), (F, 3).
d) Montrer que vecteur CH = 5/17 de vecteur CG.

Seule la question d) m’intéresse.

La réponse à la première question est selon moi :
BF = 5 BA - 4 BC (ce sont des vecteurs)
BE = -BA - BC (idem)
BG = -3 BA (idem)

Pistes

Il faut recourir à la notion de barycentre partiel.
 

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Réponse de notre équipe pédagogique

 

a) Exprimer BF, BE, et BG (ce sont des vecteurs), uniquement à l’aide des vecteurs BA et BC.

BF=BC+CF=BC+5.CA=BC+5.(CB+BA)= -4.BC+5.BA (les vecteurs sont en italique)

BE=DB=DA+AB=CB+AB= -BC-BA

BG=3.AB= -3.BA

b) Montrer que les points G, E, et F sont alignés.

On peut montrer pour cela que GE et GF sont colinéaires :

GE=GB+BE= -BG+BE= 3.BA-BC-BA=2.BA-BC

GF=GB+BF = -BG+BF = 3.BA-4.BC+5.BA=8.BA-4.BC=4.GE

CQFD

c) Montrer que B est le barycentre de (G, 5), (C, 12), (F, 3).

Il suffit de calculer 5.BG+12.BC+3.BF et montrer que c’est le vecteur nul.

d) Montrer que vecteur CH = 5/17 de vecteur CG.

Soit I le barycentre de (G,5) et (C,12). On a alors :

B barycentre de (F,3), (I,17)

Comme I est un barycentre du couple (G,C), alors I appartient à (GC).

Comme B est un barycentre du couple (F,I), alors B appartient à (FI), donc I appartient à (BF).

Donc I est l’interscetion de (BF) et (CG), c’est à dire H.

H est donc le barycentre de (G,5) et (C,12), c’est à dire, pour tout M du plan :

5.MG+12.MC=17.MH. On prend M=C :

5.MC+0=17.CH

Soit CH=5/17.MC

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !