Questions

I) Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes, définies sur R.

1. f(x) = √ (x²+1)                         2. f(x) = 3x² - 2x+ 1

II) A partir de la représentation graphique de fonctions usuelles tracer la courbe représentative, notée Cf, de chaque fonction f, sur son domaine de définition, dans le repère orthonormal (o,i,j) .

1.f(x) = 6(x+2)3 + 1                                         2.f(x) = x+1 / x+2.

Correction

I)1. f est la composée successive de trois fonctions :

g(x) = x², h(x) = x + 1, k(x) = √x.

f→ x² → x² + 1→ √(x²+1) donc f = k ° h ° g.

La fonction g est la fonction carré. Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
La fonction h est croissante sur R comme fonction affine de la forme f(x) = ax + b avec a > 0.        La fonction k qui est la fonction racine carrée, définie sur [0 ; +∞[, est croissante sur [0 ; +∞[ ; or, pour que tout x appartenant à R,  x² + 1 appartient à [1 ; +∞[ donc à [0 ; +∞[.

D'après le théorème sur le sens de la variation des fonctions composées, h ° g est décroissante sur  ]-∞ ; 0] et croissante sur [1 ; +∞[.

On en déduit de même que f = k ° (h ° g) est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.

2. Ecrivons f sous la forme f(x) = k ( (x + a)² + b ) avec k, a et b trois nombres réels.

f(x) = 3(x² - 2/3x + 1/3) = 3( (x - 1/3)² - 1/9 + 1/3 ) = 3( (x-1/3)² + 2/9 ).

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = (x - 1/3)².

g est décroissante si x - 1/3 ≤ 0 c'est-à-dire si x ≤ 1/3 soit si x ∈ ]-∞ ; 1/3].

g est croissante si x - 1/3 ≥ 0 c'est-à-dire si x ≥ 1/3 soit si x ∈ ]1/3 ; +∞].

Soit la fonction h définie sur R par h(x) = g(x) + 2/9.

Soit deux réels x et y appartenant à l'intervalle J = [1/3 ; +∞[ tels que x < y.

La fonction g est décroissante sur I, donc g(x) ≥ g(y), donc g(x) + 2/9 > g(y) + 2/9 et h est décroissante sur I.

Soit deux réels x et y appartenant à l'intervalle J = [1/3 ; +∞[ tels que x < y.

La fonction g est croissante sur J, donc g(x) ≤ g(y), donc g(x) + 2/9 < g(y) + 2/9 et h est croissante sur J.

La fonction définie sur R par f(x) = 3h(x) a le même sens de variation que h car 3 > 0.

f est donc décroissante sur ]-∞ ; 1/3] et croissante sur  [1/3 ; +∞[.

II) 1. Le domaine de définition de f est R.

Ch, la représentation graphique de la fonction h définie sur R par h(x) = (x + 2)3, est obtenue par la translation de veceur -2i de la courbe représentative de Cg de la fonction cube g.

Ck, la représentation graphique de la fonction k définie sur R par k(x) = - (x + 2)3, est la symétrique par rapport à l'axe (Ox) de la courbe Ch.

Cf, la représentation graphique de la fonction f(x) = - (x + 2)3 + 1 est ensuite obtenue par une translation de vecteur j de la courbe Ck.

2. Le domaine de définition de f est R\ {-2}.

En remarquant que x+1/ x+2 = x+2-1/x+2 = x+2/x+2 - 1/x+2 = 1 - 1/x+2.

On obtient Cf  à partir de la représentation graphique Cg de la fonction inverse g. Soit Ch la courbe représentative de la fonction h définie sur R\{-2}par h(x) = 1/x+2.

Ch est obtenue par translation de veteur -2i de la représentation graphique Cg de la fonction inverse g.

Soit Ck la courbe représentative de la fonction k définie sur R \ {-2}par k(x) = -1/x+2.

Ck est la symétrique de Ch par rapport à l'axe (Ox). f(x) = 1 + k(x). Donc Cf est obtenue par la translation de vecteur j de la courbe Ck.

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Mathieu

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