Énoncé

IL S’AGIT D'ANGLES ASSOCIES

1)EXPRIMER EN FONCTION DE SIN X ET COS X LES EXPRESSIONS SUIVANTES :

A(x)=2cosx+3cos(pi+x)+5sin((pi /2)-x)
B(x)=sin ((x+(pi/2))-5cos((-x-(pi/2))+4sin(pi-x)
C(x)=cos(x+((5pi)/2)))-2sin((3pi)-x)+4cos(x+(pi/2))

2)MONTRER QUE POUR TOUT REEL X : (V=racine)
cos x+sin x=(V2)cos(x-(pi/4))
cos x-sin x=(V2)cos(x+(pi/4))

3)UN NOMBRE x EST TEL QUE cos x=-(3/5) et sin x>0
calculer cos 2x et sin 2x

4)DEMONTRER QUE
cos^4=(1/8)(cos 4x+4cos2x+3)

en deduire que cos^4(pi/8)+cos^4(3pi/8)+cos^4(5pi/8)+cos^4(7pi/8)

Pouvez vous s’il vous plait me fournir un developement complet de cet exercice.
Je vous remercie d’avance pour votre précieuse aide.
Merci beaucoup

 

Réponse de notre équipe pédagogique

div align="center"> IL S’AGIT D4ANGLES ASSOCIES

1)EXPRIMER EN FONCTION DE SIN X ET COS X LES EXPRESSIONS SUIVANTES :

A(x)=2cosx+3cos(pi+x)+5sin((pi /2)-x)

A(x) = 2cosx  - 3cosx +5 cosx = 4 cosx  cela se voit sur le cercle trigonométrique ou tout simplement à partir du formulaire en développant cos(a+b) ou sin(a+b)


B(x)=sin ((x+(pi/2))-5cos((-x-(pi/2))+4sin(pi-x)

B(x) = cosx +5sinx +4sinx = cosx +9sinx


C(x)=cos(x+((5pi)/2)))-2sin((3pi)-x)+4cos(x+(pi/2))

C(x) = sinx -2sinx +4sinx = 3sinx

2)MONTRER QUE POUR TOUT REEL X : (V=racine)
cos x+sin x=(V2)cos(x-(pi/4))
cos x-sin x=(V2)cos(x+(pi/4))

cos(x-pi/4) = cosx.cos(Pi/4) +sinx.sin(Pi/4) = cos x .V2/2 + sinx . V2/2 = (cosx + sinx)/V2

cos(x+pi/4) = cosx.cos(Pi/4) - sinx.sin(Pi/4) = cos x .V2/2 - sinx . V2/2 = (cosx - sinx)/V2


3)UN NOMBRE x EST TEL QUE cos x=-(3/5) et sin x>0
calculer cos 2x et sin 2x

cos 2x = 2.(cosx)^2 -1 = 2*9/25 -1 = -7/25

pour connaître sin2x, il faut connaitre sin x or (sinx)^2 + (cosx)^2 = 1 donc sinx =V(16/25) = 4/5

Donc sin2x = 2sinx.cosx = 2*4/5*3/5 = 24/25


4)DEMONTRER QUE
cos^4=(1/8)(cos 4x+4cos2x+3)

cos^4x = ((cosx)^2)^2 =((cos(2x) +1)/2)^2 = (1/4) ((cos2a)^2 +2cos 2x +1) = (1/4) ( [cos(4x) +1]/2 +2cos 2x +1) = (1/8) (cos 4x + 4cos 2x +3)

en deduire que cos^4(pi/8)+cos^4(3pi/8)+cos^4(5pi/8)+cos^4(7pi/8)

Il manque u bout à ta question, mais on va la calculer quand même :

cos^4(pi/8)+cos^4(3pi/8)+cos^4(5pi/8)+cos^4(7pi/8) = (1/8) [ cos(pi/2) + 4cos(pi/4) +3 +cos(3pi/2) +4cos(3pi/4) +3 + cos(5pi/2) + 4cos(5pi/4) +3 + cos(7pi/2) + 4cos(7pi/4) +3] = ’1/8) [0 + 4.V2/2 + 3 + 0 - 4V2/2 +3 +0 -4V2/2 + 3 + 0 +4V2/2 +3] = 3/2

 

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