Sujet et réponse

Enoncé
Soit un demi-cercle de diamètre AB=10cm.

Un point M de ce demi-cercle se projette orthogonalement en H sur la droite (AB)déterminer et représenter l’ensemble des points M tels que:

a) AM²+HM²inférieur ou égal à 50 (Aide: OHM et AHM sont rectangles)
b) AM+HB supérieur ou égal à 95/8

 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

a) On a OHM rectangle en H (projeté orthogonal) et AHM rectangle en H.

Raisonnons par équivalence :

AM²+HM²<=50 Û AH²+HM²+HM²<=50 (théorême de Pythagore sur AHM)

Û AH²+2HM²<=50
Û AH²+2OM²-2OH²<=50 (théorême de Pythagore sur OHB)
Û (OA-OH)²+2OM²-2OH²<=50
Û OA²-2.OA.OH+OH²+2OM²-2OH²<=50
Û 5²-10.OH+OH²+2.5²-2OH²<=50
Û 0<=OH²+10.OH-25

Les solutions de l’équation x²+10x-25=0 sont x1=-5(1+V2) et x2=-5(1-V2)

Cette équation est positive à l’extérieur des racines (car le coefficient de x² est positif), c’est à dire si x<=-5(1+V2) ou si x >=5(V2-1)

Or OH est postif, donc OH>=5(V2-1)

Appelons r la mesure de l’angle orienté AOM. On a OH=5.cosr (on utilise le cercle trigonométrique)

On a alors cosr>=V2-1 Soit r1 dans [0,pi/2] tel que cosr1=V2-1

L’ensemble des points M correspondant est ainsi l’arc de cercle tel que AOM<=r1 ou AOM>=pi-r1

b) Déterminons l’ensemble des points M tels que AM+HB>=95/8

On a AM+HB>=95/8 Û V(AH²+HM²) + HO+5>=95/8

Û V((OA-OH)²+25-OH²) + HO+5>=95/8
Û V(5²-10.OH+OH²+25-OH²) + HO+5>=95/8
Û V(50-10.OH)+ HO+5>=95/8
Û V(50-10.OH)>=95/8-5-OH
Û 50-10.OH>=(55/8-OH)²
Û 50-10.OH>=3025/64-55/4OH+OH²
Û 0>=3025/64-50-55/4OH+10.OH+OH²
Û 0>=-175/64-15/4.OH+OH²

Il suffit alors de procéder comme au a) pour déterminer l’ensemble des points H (et donc des points M) correspondant.

 

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