Sujet et solution

Enoncé
Exercice 1
Le but de l’exercice est de déterminer les valeurs exactes de l’équation (E) : 1 + 3x - x3 = 0

1)Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 1 + 3x – x3

a.Etudier la fonction f (limites, variations, tableau)

b.A l’aide du tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l’équation (E).Donner un encadrement à 10-2 près des solutions.

2)
a.Exprimer sin 3x en fonction de sin x

b.Déterminer les solutions (E) de la forme x=2 sin a avec a appartenant à ] - pie/2 , pie/2 ]

c . En déduire l’ensemble des solutions de (E).

Voici un exercice que je dois rendre mais je n’arrive pas à résoudre la question 2)b. et 2)c.

Question 1.a. f décroît de –l’infini à –1 puis croit de –1 à 1 puis décroît 1 jusqu’à + l’infini
Lim en – l’infini : + l’infini
Image de –1 : -1
Image de 1 : 3
Lim en + l’infini : -l’infini

1b. ]- l’infini ; -1 ] : -1.54 < a 1 < -1.53
[-1 ; 1] : -0.35< a2 <-0.34
[1 ; + l’infini [ : 1.87< a3 <1.88

2a. sin3 x = 3 sin x – 4 sin3 x

2b. f(x) = 1+ 3(2 sin a) – (2 sin a) 3
= 1+ 6 sin a –8 sin3 a
=1 +2 (3 sin a – 4 sin3 a)
f(x) = 1 + 2 sin 3a eq.à sin 3a =-1/2

……… La suite ?? Je ne sais pas comment je dois faire pour diviser mon modulo 2pie

Pistes
Pouvez me corriger les questions 1.a.b. et 2.a. puis me résoudre la 2.b.c Merci d’avance
 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

1)Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 1 + 3x – x3
a.Etudier la fonction f (limites, variations, tableau)

OK

b.A l’aide du tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l’équation (E).Donner un encadrement à 10-2 près des solutions.

OK

2) a.Exprimer sin 3x en fonction de sin x

OK

b.Déterminer les solutions (E) de la forme x=2 sin a avec a appartenant à ] - pie/2 , pie/2 ]

On pose x=2sina

On a alors (E) équivalent à 1+3.2sina-(2sina)^3=0

soit 1+6sina-8sin^3 a=0

soit 1+6sina -8. 1/4 . (3sina-sin3a) = 0

soit 1+6sina -2.3sina+2.sin3a=0

soit 1+2sin3a=0

Soit sin3a=-1/2 (avec a dans ]-pi/2,pi/2]

soit 3a=-pi/6 [2pi] ou 3a=7pi/6 [2pi]

Soit a=-pi/18 [2pi/3] ou a=7pi/18 [2/3 pi]

Soit a=-pi/18 ou a=7pi/18 ou a=7pi/18 - 2/3pi = -5pi/18

c . En déduire l’ensemble des solutions de (E).

Les solutions de (E) sont :

2.sin(-pi/18)

2.sin(7pi/18)

2.sin(-5pi/18)

Bon Week End

 

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