Devoir corrigé

1)Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 1 + 3x – x3

a.Etudier la fonction f (limites, variations, tableau)

b.A l’aide du tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l’équation (E).Donner un encadrement à 10-2 près des solutions.

2)
a.Exprimer sin 3x en fonction de sin x

b.Déterminer les solutions (E) de la forme x=2 sin a avec a appartenant à ] - pie/2 , pie/2 ]

c . En déduire l’ensemble des solutions de (E).

Voici un exercice que je dois rendre mais je n’arrive pas à résoudre la question 2)b. et 2)c.

Question 1.a. f décroît de –l’infini à –1 puis croit de –1 à 1 puis décroît 1 jusqu’à + l’infini
Lim en – l’infini : + l’infini
Image de –1 : -1
Image de 1 : 3
Lim en + l’infini : -l’infini

1b. ]- l’infini ; -1 ] : -1.54 < a 1 < -1.53
[-1 ; 1] : -0.35< a2 <-0.34
[1 ; + l’infini [ : 1.87< a3 <1.88

2a. sin3 x = 3 sin x – 4 sin3 x

2b. f(x) = 1+ 3(2 sin a) – (2 sin a) 3
= 1+ 6 sin a –8 sin3 a
=1 +2 (3 sin a – 4 sin3 a)
f(x) = 1 + 2 sin 3a eq.à sin 3a =-1/2

……… La suite ?? Je ne sais pas comment je dois faire pour diviser mon modulo 2pie

1)Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 1 + 3x – x3
a.Etudier la fonction f (limites, variations, tableau)

OK

b.A l’aide du tableau de variations, déterminer le nombre de solutions de l’équation (E).Donner un encadrement à 10-2 près des solutions.

OK

2) a.Exprimer sin 3x en fonction de sin x

OK

b.Déterminer les solutions (E) de la forme x=2 sin a avec a appartenant à ] - pie/2 , pie/2 ]

On pose x=2sina

On a alors (E) équivalent à 1+3.2sina-(2sina)^3=0

soit 1+6sina-8sin^3 a=0

soit 1+6sina -8. 1/4 . (3sina-sin3a) = 0

soit 1+6sina -2.3sina+2.sin3a=0

soit 1+2sin3a=0

Soit sin3a=-1/2 (avec a dans ]-pi/2,pi/2]

soit 3a=-pi/6 [2pi] ou 3a=7pi/6 [2pi]

Soit a=-pi/18 [2pi/3] ou a=7pi/18 [2/3 pi]

Soit a=-pi/18 ou a=7pi/18 ou a=7pi/18 - 2/3pi = -5pi/18

c . En déduire l’ensemble des solutions de (E).

Les solutions de (E) sont :

2.sin(-pi/18)

2.sin(7pi/18)

2.sin(-5pi/18)

Bon Week End