Sujet et solution

Enoncé
Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) on donne A(2;3;2) et B(-2;2;1)
1)Déterminer les coorndonnées du milieu I de [AB].
2)S est la sphère de diamètre [AB]
a) Quel est son centre?
b)Calculer son rayon.
c) Quelle relation vérifient les coordonnées (x;y;z) d’un point M de S ?
3)M(x;y;z) est un point tel que les vecteurs MA et MB soient orthogonaux.Trouver une relation entre x, y et z qui traduise cette propriété.
4) En utilisant les résultats de 2) et 3), donner une caractérisation de l’appartenance d’un point à la sphère de diamètre [AB].
 

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

Bonjour,

1) I milieu de [AB] signifie que :

xI=(xA+xB)/2
xI=(2-2)/2=0

yI=(yA+yB)/2
yI=(3+2)/2=5/2

zI=(zA+zB)/2
zI=(2+1)/2
zI=3/2

2) a) Le centre de la sphère est I.

b) R=IA

R=V( (xA-xI)²+(yA-yI)²+(zA-zI)² )

R=V( (2-0)²+(3-5/2)²+(2-3/2)² )

R=V ( 4 +1/4 + 1/4 )

R= V (4 + 1/2)

R=V(9/2)

R=3 /V 2

c) La relation est:

(x-xI)²+(y-yI)²+(z-zI)²=R²

x²+(y-5/2)²+(z-3/2)²= 9/2

3) MA et MB orthogonaux.
--->
MA (2-x, 3- y ,2-z)
--->
MB (-2-x, 2-y,1-z)
---> --->
MA.MB=0

(2-x)(-2-x)+(3-y)(2-y)+(2-z)(1-z)0

x²-4+y²-5y+6+z²-3z+2=0

x²+(y-5/2)²-25/4+(z-3/2)²-9/4+4=0

x²+(y-5/2)²+(z-3/2)²-34/4+4=0

x²+(y-5/2)²+(z-3/2)²=18/4

x²+(y-5/2)²+(z-3/2)²=9/2

4) En utilisant les résultats de 2) et 3), donner une caractérisation de l’appartenance d’un point à la sphère de diamètre [AB].

..................................................................................--->.--->
M appartient à la sphère de diamètre [AB] signifie que MA.MB=0 .

 

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Maelys

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