Sujet et solution

Enoncé
Ce problème porte sur les chapitres : barycentre, produit scallaire et trigonométrie.

OABC est un carré de côté 4cm. A’ est le symétrique de A par rapport à B. Un point M décrit le segment [AA’]. On lui associe le point N tel que le vecteur ON= le vecteur MA’.

1)a) démontrez que la droite (MN) passe par un point fixe I.
b) Quel est le lieu géométrique de N lorsque M décrit le segment [AA’] ?

2) On note G1 et G2 les centres de gravité respectifs des triangles ANM et ONA.
a) Montrez que le point G1 reste fixe lorsque M décrit [AA’].
b) Quel est le lieu géométrique de G2 lorsque M décrit [AA’] ?

3) Dans un repère orthonormal (O; i; j), A a pour coordonnées (4 ;0) et C a pour coordonnées (O ;4).
Le point M, quant à lui a pour coordonnées (4 ;m) avec m décrivant l’intervalle [0 ; 8].
a) Calculez les coordonnées de N, G1 et G2.
b) Montez que l’aire S1 du triangle ANM est 2m et celle, S2, du triangle ONA est 2(8-m)
c)G est le barycentre de (G1 ;S1), (G2,S2).
Calculez les coordonnées de G et montrez que l’abscisse de G varie dans l’intervalle [4/3 ;8/3] lorsque m décrit l’intervalle [0 ; 8].

4) On considère la fonction f définie sur R par : f(x)= (3/2)x²-6x+8.
a) Etudiez les variations de f et tracer dans le repère (O ;i ;j) sa courbe représentive C.
b) Montrez que G est un point de C. Quelle est la partie de C décrite par le point G ?

 

Réponse de notre équipe pédagogique :

Ce problème porte sur les chapitres : barycentre, produit scallaire et trigonométrie.

OABC est un carré de côté 4cm. A’ est le symétrique de A par rapport à B. Un point M décrit le segment [AA’]. On lui associe le point N tel que le vecteur ON= le vecteur MA’.

1)a) démontrez que la droite (MN) passe par un point fixe I.
OMA’N est toujours un parallélogramme. Ses diagonales se coupent toujours en I milieu de OA’. Toute droite MN passe forcément par ce point.

b) Quel est le lieu géométrique de N lorsque M décrit le segment [AA’] ?
MA’ varie entre le vecteur nul et le vecteur AA’. N varie donc entre O et O’ avec O’ symétrique de O par rapport à C.

2) On note G1 et G2 les centres de gravité respectifs des triangles ANM et ONA.
a) Montrez que le point G1 reste fixe lorsque M décrit [AA’].
On a appelé I le milieu fixe de NM’ et de OA’. G1 est toujours situé à 2/3 de AI sur le segment AI.

b) Quel est le lieu géométrique de G2 lorsque M décrit [AA’] ?
G2 centre de gravité de ONA. Le milieu de ON appelé E a pour coordonnées ( 0, 4-m/2).
Il faut poser que AG2=2/3*AE, on trouve les coordonnées de G2 en fonction de m...

3) Dans un repère orthonormal (O; i; j), A a pour coordonnées (4 ;0) et C a pour coordonnées (O ;4).
Le point M, quant à lui a pour coordonnées (4 ;m) avec m décrivant l’intervalle [0 ; 8].
a) Calculez les coordonnées de N, G1 et G2.
A’ (4,8) donc MA’(0,8-m) donc N(0,8-m)
I milieu de OA’ a pour coordonnés ( 2,4)
A(4;0) donc AI(-2,4) donc AG1 ( -4/3, 8/3) donc G1(8/3;8/3)

G2 se calcule de la même façon : on prend les coordonnées du milieu de NA appelé I’ et on dit que OG2=2/3*OI’

b) Montez que l’aire S1 du triangle ANM est 2m et celle, S2, du triangle ONA est 2(8-m)

On a déjà démontré que ON=8-m. Donc l’aire de ONA=OA*ON/2=4*(8-m)/2=2*(8-m)
Prenons M’ projeté orthogonal de M sur (OC). le rectangle OAMM’ a pour aire 4m
On enlève le triangle ONA d’aire 2*(8-m) et celle du triangle MM’N ( 2*(2m-8)) et on trouve que l’aire de ANM est 2m

c)G est le barycentre de (G1 ;S1), (G2,S2).
Calculez les coordonnées de G et montrez que l’abscisse de G varie dans l’intervalle [4/3 ;8/3] lorsque m décrit l’intervalle [0 ; 8].
On a l’équation S1*GG1+S2*GG2=0
On G1(8/3,8/3), G2 s’exprime en fonction de m. On obtient donc une équation avec des m, S1 et S2 et G(x,y)
Il suffit de dire que au niveau des abscisses : S1*(8/3-x)+S2(abscisse de G2 en fonction de m-x)=0
On obtient une fonction de m qui varie entre 4/3 et 8/3 quand m varie de 0 à 8

4) On considère la fonction f définie sur R par : f(x)= (3/2)x²-6x+8.
a) Etudiez les variations de f et tracer dans le repère (O ;i ;j) sa courbe représentive .
f’(x)=3x-6. Pour x>2, f est croissante

b) Montrez que G est un point de C. Quelle est la partie de C décrite par le point G ?
On calcule x et y en fonction de m et il suffit de montrer que y=f(x).
Le point G décrit la partie de la courbe dont l’abscisse varie entre 4/3 et 8/3

 

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