Le sujet

Enoncé
1) Montrer que pour tous réels a et b : cos(a+b)x cos(a-b) = cos carré de a - sin carré de b = cos carré de b - sin carré de a et que sin(a+b) x sin(a-b) = sin carré de a - sinus carré de b = cos carré de b - cos carré de a

2)Après avoir précisé leur ensemble de définition, simplifier les expressions :

(sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x) et (sin 3x)/(sin x) - (cos 3x)/(cos x)

3)Montrer que pour tout x réel, cos quatre de x = 1/8 (cos 4x+ 4cos 2x +3).

4)Exprimer cos a x cos b en fonction de cos(a+b) et cos (a-b)et en déduire que cos p + cos q = 2 cos (p+q)/2 cos (p-q)/2

5)Soit A(x) = 16 cosx cos2x cos4x cos8x En calculant sinx A(x), montrer que pour tout x différent de k x pi, A(x) = (sin 16x)/(sinx) puis en déduire la valeur du nombre cos(pi/15)cos(2pi/15)cos(4pi/15)cos(8pi/15)

La bonne réponse

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

1) Montrer que pour tous réels a et b : cos(a+b)x cos(a-b) = cos carré de a - sin carré de b = cos carré de b - sin carré de a et que sin(a+b) x sin(a-b) = sin carré de a - sinus carré de b = cos carré de b - cos carré de a

Pour tout réels a et b, on a :

cos(a+b)cos(a-b)-sin(a+b)sin(a-b)=cos(a+b+a-b)=cos(2a)

et cos(a+b)cos(a-b)+sin(a+b)sin(a-b)=cos(a+b-a+b)=cos(2b).

Soit, en additionnant les lignes :

2. cos(a+b).cos(a-b)=cos(2a)+cos(2b)

et en les soustrayant :

2sin(a+b)sin(a-b)=cos(2b)-cos(2a)

Or cos(2a)=2cos²a-1=1-2sin²a

cos(2b)=2cos²b-1=1-2sin²b

Donc 2. cos(a+b).cos(a-b)=cos(2a)+cos(2b)=2cos²a-1+1-2sin²b

Soit cos(a+b).cos(a-b)=cos²a-sin²b

et 2sin(a+b)sin(a-b)=1-2sin²b-(1-2sin²a)

Soit sin(a+b)sin(a-b)=sin²a-sin²b

2)Après avoir précisé leur ensemble de définition, simplifier les expressions : (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x) et (sin 3x)/(sin x) - (cos 3x)/(cos x)

sin est définie sur R et s’annule pour x=0+k.pi, k dans Z

cos est définie sur R et s’annule pour x=pi/2+k.pi, k dans Z.

Donc (sin 3x)/(sin x)+(cos 3x)/(cos x) et (sin 3x)/(sin x) - (cos 3x)/(cos x) sont définies sur les intervalles ]k.pi, k.pi+pi/2[, k dans Z.

Simplification :

(sin3x)/sinx+cos3x/cosx=(sin3x.cosx+cos3x.sinx)/sinx.cosx=sin(4x)/sinx.cosx=[2.sin(2x).cos(2x)]/sinx.cosx

= [4.sinx.cosx.cos(2x)]/sinx.cosx= 4.cos(2x)

sin(3x)/sinx-cos(3x)/cosx=(sin3x.cosx-cos3x.sinx)/sinx.cosx=sin(2x)/sinx.cosx=(2.sinx.cosx)/sinx.cosx=2

3)Montrer que pour tout x réel, cos quatre de x = 1/8 (cos 4x+ 4cos 2x +3).

cos(2x)=2cos²x-1

Donc cos²x=(cos(2x)-1)/2

Donc cos^4(x)=cos²x.cos²x = 1/4(cos(2x)-1)²

= 1/4(cos²(2x)-2.cos(2x)+1)
= 1/4[1/2(cos(4x)-1)-cos(2x)+1]

Je vous laisse finir...

4)Exprimer cos a x cos b en fonction de cos(a+b) et cos (a-b)et en déduire que cos p + cos q = 2 cos (p+q)/2 cos (p-q)/2

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

Donc 2.cosacosb=cos(a+b)+cos(a-b)

Soit cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]

On pose p=a+b et q=a-b

On a alors :

cos[(p+q)/2].cos[(p-q)/2]=1/2[cosp+cosq]

Soit cosp+cosq=2.cos[(p+q)/2].cos[(p-q)/2]

5)Soit A(x) = 16 cosx cos2x cos4x cos8x En calculant sinx A(x), montrer que pour tout x différent de k x pi, A(x) = (sin 16x)/(sinx) puis en déduire la valeur du nombre cos(pi/15)cos(2pi/15)cos(4pi/15)cos(8pi/15)

sinx.A(x)=sinx.(16 cosx cos2x cos4x cos8x)=sinx.cosx.16.(cos2x cos4x cos8x)

= 1/2.sin2x.16.(cos2x cos4x cos8x)
= 8.1/2.sin4x.cos4x.cos8x
= 4.1/2.sin8x.cos8x
= 2.1/2. Sin16x
=sin16x

On a donc bien, pour x différent de k.pi, A(x)=(sin16x)/sinx

Il suffit de remplacer x par pi/15, puis d’exprimer sin(16pi/15) en fonction de sin(pi/15)...

 

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