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Sujet

Enoncé
SOMMATION

Nous nous proposons de calculer les entiers S1 et S2 tels que :
S1=1+2+...+(n-1)+n, avec n appartenant à N
S2=1au carré+2au carre+...+(n-1)au carré+n au carré

-soit f une fonction définie sur R
On pose g(x)=f(x+1)-f(x)
vérifier l’égalité
g(1)+g(2)+...+g(n-1)+g(n)=f(n+1)-f(1), n appartenant N (A)

-on donne f:x est ax^2+bx+c
exprimer g(x) a l’aide de a,b,c.Comment peut on choisir f pour que l’on ait
pour tout x appartenant R, g(x)=x?

Trouver toutes les solutions

-ecrire l’égalité (A) pour les fonctions f et g obtenues en a.En déduire S1

-On donne f:x est ax^3 +bx^2+cx+d
comment peut on choisir f pour que l’on ait :
pour tout x appartenant R, g(x)=x^2?Trouver toutes les solutions .En déduire S2

Réponse

Réponse de notre équipe pédagogique :
 

-soit f une fonction définie sur R On pose g(x)=f(x+1)-f(x) vérifier l’égalité g(1)+g(2)+...+g(n-1)+g(n)=f(n+1)-f(1), n appartenant N (A)

Pour tout n dans N, on a :

g(1)+g(2)+...+g(n-1)+g(n) = f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+...+f(n)-f(n-1)+f(n+1)-f(n) les termes de la somme s’annulent deux à deux. Il ne reste que les termes "du bord" :

g(1)+g(2)+...+g(n-1)+g(n) =-f(1)+f(n+1)=f(n+1)-f(1)

-on donne f:x est ax^2+bx+c exprimer g(x) a l’aide de a,b,c.

On a, pour tout x de R :

g(x)=f(x+1)-f(x)=a.(x+1)²+b.(x+1)+c-a.x²-b.x-c

= ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c
= 2ax+a+b

Comment peut on choisir f pour que l’on ait pour tout x appartenant R, g(x)=x?

pour tout x de R, g(x)=x Û pour tout x de R, 2ax+a+b=x

Û pour tout x de R, (2a-1)x+a+b=0
Û 2a-1=0 et (a+b)=0
Û a=1/2 et b=-1/2

Trouver toutes les solutions

Les solutions sont donc les fonctions f telles :

f(x)=x²/2-x/2+c, avec c réel.

-ecrire l’égalité (A) pour les fonctions f et g obtenues en a.

L’égalité A s’écrit :

1+2+3+...+(n-1)+n=(n+1)²/2-(n+1)/2+c-1²/2+1²/2-c

= n(n+1)/2

En déduire S1

On a alors S1=n(n+1)/2

-On donne f:x est ax^3 +bx^2+cx+d comment peut on choisir f pour que l’on ait : pour tout x appartenant R, g(x)=x^2? Trouver toutes les solutions .

On a, pour tout x de R :

g(x)=f(x+1)-f(x)=a.(x+1)^3+b.(x+1)²+c.(x+1)+d-a.x^3-bx²-cx-d

= ax^3+3ax²+3ax+a+bx²+2bx+b+cx+c+d-a.x^3-bx²-cx-d
= 3ax²+(3a+2b)x+a+b+c

pour tout x de R, g(x)=x² Û pour tout x de R, 3ax²+(3a+2b)x+a+b+c=x²

Û pour tout x de R, (3a-1)x²+(3a+2b)x+a+b+c=0
Û 3a-1=0 et 3a+2b=0 et a+b+c=0
Û a=1/3 et b=-1/2 et c=1/6

Les solutions sont donc les fonctions f telles que : f(x)=1/3x^3-1/2x²+1/6x+d

En déduire S2

Remplaçons (A) par les fonctions f et g telles que ci-dessus :

1²+2²+...+(n-1)²+n²=1/3(n+1)^3-1/2(n+1)²+1/6(n+1)+d-1/3+1/2-1/6-d

= 1/3n^3+n²+n+1/3-1/2n²-n-1/2+1/6n+1/6
= 1/3n^3+1/2n²+1/6n
= n(1/3n²+n/2+1/6)

Ainsi, on a :

S2= n(1/3n²+n/2+1/6)

 

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