Enoncé

PROBABILITES

Exercice n°1 :

Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une carte, on la remet dans le jeu, puis on en tire une seconde.
Un « résultat » est un couple de cartes (ex : as de cœur, roi de pique).
1) Déterminer le nombre d’éléments de l’univers de cette expérience ; justifier.
2) Déterminer les probabilités des evennements suivants :
A : « les deux cartes sont des cœurs »
B : « les deux cartes sont identiques »
C : « les deux cartes sont rouges »
D : « la première est un pique, la seconde est un dix ».

Exercice n°2 :

Définition : on appelle « mot » toute suite ordonnée de lettres (ex : ghy).
1) Combien de « mots » de trois lettres distinctes peut on écrire avec les lettres du mot « MARE » ? Justifier.
2) Déterminer les probabilités des evennements suivants :
a) le mot est « ARE »
b) le mot contient la lettre « A »
c) Le mot ne contient pas la lettre « A ».

Exercice n°3 :

De combien de manières peut on ranger cinq pulls dans deux tiroirs ? (on cherchera une représentation claire de l’univers de cette expérience.)

Exercice n°4 :

Dans une classe de 48 élèves, il y a 25 filles ; 18 pensionnaires dont 8 garçons ; il n’y a pas de demi-pensionnaires.
On choisit un élève au hasard dans cette classe.
Déterminer les probabilités pour que :
a) cet élève soit un garçon
b) cet élève soit une fille pensionnaire
c) cet élève soit externe.

 

Réponse de notre équipe pédagogique

 

Exercice n°1 : Dans un jeu de 32 cartes, on tire au hasard une carte, on la remet dans le jeu, puis on en tire une seconde. Un « résultat » est un couple de cartes (ex : as de cœur, roi de pique).

1) Déterminer le nombre d’éléments de l’univers de cette expérience ; justifier.

L’univers U de cette expérience est l’ensemble des couples de cartes, sachant que la première carte est remise dans le jeu

Il y a donc card(U)=32²/=1024 éléments dans cet univers, car la première carte tirée est remis dans le jeu.

2) Déterminer les probabilités des evennements suivants :

A : « les deux cartes sont des cœurs »

P(A)=card(A)/card(U)

Dénombrons les couples correspondant à A : il y a 8 cartes "coeur" dans le jeu. Donc card(A)=8x8=64

Ainsi, P(A)=64/1024=0,0625

B : « les deux cartes sont identiques »

P(B)=card(B)/card(U)

Dénombrons les couples correspondant à B :

  • choix de la carte qui sera tirée en double : 32 possibilités
  • choix de la seconde carte : 1 possibilité (le choix est imposé par la première)

Ainsi, card(B)=32

Ainsi, P(B)=32/1024=1/32=0,03125

C : « les deux cartes sont rouges »

P(C)=card(C)/card(U)

Dénombrons les couples correspondant à C:

  • choix de la première carte : 16 possibilités
  • choix de la seconde carte : 16 possibilités

Ainsi, card(C)=16x16=256

Ainsi, P(C)=256/1024=1/4=0,25

D : « la première est un pique, la seconde est un dix ».

P(D)=card(D)/card(U)

Dénombrons les couples correspondant à D:

  • choix de la première carte : 8 possibilités (8 piques)
  • choix de la seconde carte : 4 possibilités (1 "10" par couleur)

Ainsi, card(D)=8x4=32

Ainsi, P(D)=32/1024=1/32=0,03125

Exercice n°2 : Définition : on appelle « mot » toute suite ordonnée de lettres (ex : ghy).

1) Combien de « mots » de trois lettres distinctes peut on écrire avec les lettres du mot « MARE » ? Justifier.

  • Il y a C(4,3)=4 façons de choisir les trois lettres distinctes du mot, choisies parmi les 4 lettres de "MARE".
  • Il y a 3!=6 façons de créer un mot à partir de ces 3 lettres (ex : mar, ram, mra, rma, amr, arm)

Au total, il y a 4x6=24 façons de créer un mot de 3 lettres distinctes à partir de "MARE".

2) Déterminer les probabilités des evennements suivants :

L’univers U est ici l’ensemble des mots de trois lettres distinctes. On a donc card(U)=34

a) le mot est « ARE »

Soit A l’événement " le mot est « ARE » ".

P(A)=card(A)/card(U)

Il n’y a qu’une façon de créer "ARE", donc P(A)=1/24=0,041666

b) le mot contient la lettre « A »

Soit B l’événement " le mot contient la lettre « A » ".

  • Il y a C(3,2)=3 façons de choisir les deux autres lettres du mot à partir des lettres M,R,E.
  • Il y a 6 façons d’ordonner les trois lettres.

On a donc card(B)=18.

Soit P(B)=18/24=0,75

c) Le mot ne contient pas la lettre « A ».

Soit C l’événement "Le mot ne contient pas la lettre « A ». ".

On a C=B_ (B "barre")

Donc P(C)=1-P(B)=1-0,75=0,25

Exercice n°3 :
De combien de manières peut on ranger cinq pulls dans deux tiroirs ? (on cherchera une représentation claire de l’univers de cette expérience.)

Soient A et B les deux tiroirs, P1, P2, ..P5 les cinq pulls.

L’univers U de cette expérience est l’ensemble des façons de placer les pulls dans les tiroirs, sachant que :

  • le nombre de pulls dans chaque tiroir peut varier de 0 à 5
  • l’ordre des pulls dans chaque tiroir compte.

On peut ainsi représenter U comme l’ensemble des 6-uplets, chaque élément étant composé de P1,P2,P3,P4,P5 et "|", symbolisant le passage d’un tiroir à l’autre. Quelques exemples :

  • (|,P3,P5,P1,P4,P2) (ici, A est vide)
  • (P2,P3,P5,|, P1,P4) (P2, P3 et P5 sont dans A, dans cet ordre; P1 et P4 sont dans B, dans cet ordre).

Il y a 6!=720 6-uplets possibles. Donc il y a 720 manières de ranger les pulls.

Exercice n°4 :
Dans une classe de 48 élèves, il y a 25 filles ; 18 pensionnaires dont 8 garçons ; il n’y a pas de demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard dans cette classe. Déterminer les probabilités pour que :

a) cet élève soit un garçon

Soit U l’univers de l’expérience, c’est à dire l’ensemble des tirages de un élève. card(U)=48

Il y a 25 filles, donc 48-25=23 garçons.

P(G)=card(G)/card(U)=23/48=0,4791666

b) cet élève soit une fille pensionnaire

Soit B cet événement.

Il y a 18 pensionnaires, dont 8 garçons. Les autres sont donc des filles : il y a donc 10 filles pensionnaires.

Donc P(B)=10/48=0,20833

c) cet élève soit externe.

Soit C cet événement.

Il y a 18 pensionnaires et 0 pensionnaires. Il y a donc 48-18=30 externes.

Donc P(C)=30/48=0,625

 

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