Introduction

Une expression mathématique, composée de nombres, d'inconnues et d'opérations, peut souvent s'écrire sous plusieurs formes différentes. Les deux formes les plus utilisées sont la forme factorisée et la forme développée. Étudions ce que peuvent nous offrir ces deux formes et étudions différents exemples.

 

Rappels sur les expressions littérales

Comment simplifier une expression littérale ? Commençons par rappeler ce qu'est une expression littérale et les propriétés qui l'entourent.

Une expression littérale est composée d'opérations (additions, soustractions, multiplications, divisions, ...), de variables (des inconnues : x, y, ...), de nombres et de parenthèses.

Par exemple,

    \[x^3+2x-1\]

et

    \[\frac{x+10}{x^2+3}\]

sont des expressions littérales. De même, les formules que l'on utilise, par exemple l'aire du rectangle

    \[A=2l+2L\]

ou encore le périmètre du cercle

    \[P=2\pi r\]

sont des expressions littérales.

Rappelons quelques propriétés dans l'écriture de ces expressions et les priorités de calculs :

  • Lorsqu'il n'y a pas de parenthèse, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la soustraction.
  • Lorsqu'il y a des parenthèses, on effectue les calculs entre parenthèses en premier.
  • Lorsqu'il y a plusieurs additions et soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
  • Lorsqu'il y a plusieurs multiplications et divisions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
  • S'il n'y a que des additions, on effectue les calculs dans l'ordre qui nous arrange.
  • S'il n'y a que des multiplications, on effectue les calculs dans l'ordre qui nous arrange.
  • Lors de la multiplication d'un nombre (aussi appelé un scalaire) par une inconnue, il n'est pas nécessaire de noter le signe fois :

        \[\times\]

        \[2\times x=2x\]

  • Lors de la multiplication d'un nombre par une expression entre parenthèses, il n'est pas nécessaire de noter le signe fois :

        \[3\times (2x-1)=3(2x-1)\]

 

Développer une expression littérale

Comment développer une expression mathématique ? Passons maintenant au cours qui nous intéresse : comment développer et réduire une expression mathématique.

Développer et réduire une expression littérale signifie l'écrire avec le moins de termes possible en ayant retirer toutes les parenthèses et simplifier au maximum.

Par exemple :

    \[6t - 2t = 4t\]

En effet, cela se voit facilement lorsque l'on suppose que t est une pomme. Si l'on a 6 pommes et que l'on en retire 2, il en reste 4.

Il existe différentes propriétés afin de réduire et simplifier des expressions mathématiques :

  • Quand il y a le signe '-' devant des parenthèses, on peut retirer la parenthèse en changeant tous les signes des termes à l'intérieur de la parenthèse :

        \[a - ( b + c ) = a - b - c\]

    et

        \[a - ( b - c ) = a - b + c\]

    Par exemple,

        \[-(2x^2+4x-8)=-2x^2-4x+8\]

  • Quand il y a le signe '+' devant des parenthèses, celles-ci sont inutiles et on peut les retirer.
  • Lorsqu'il y a un nombre qui multiplie la parenthèse, on peut utiliser la distributivité pour simplifier l'expression :

        \[a(b+c)=ab+ac\]

    Par exemple

        \[4(x-3)=4\times x+4\times (-3)=4x-12\]

    ou encore

        \[-3(6-x)=-3\times 6 -3 \times (-x)=-18+3\]

  • Lorsque l'on multiplie deux parenthèses entre elles, on utilise ce qu'on appelle la double distributivité :

        \[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]

    Par exemple,

        \[(2y+3)(y-5)\]

        \[=2y \times y+2y \times (-5)+3\times y+3\times (-5)\]

        \[=2y^2-10y+3y-15=2y^2-7y-15\]

On peut également développer une expression littérale à l'aide des identités remarquables. Pour a et b des nombres réels, on a :

    \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

    \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

    \[(a+b)(a-b)=a^2-b^2\]

Prenons différents exemples d'expressions littérales et développons les :

    \[(2x+3)-(x^2-1)\]

    \[=2x+3-x^2-(-1)=-x^2+2x+4\]

    \[(-4x+5)(2x^2-1)=-4x\times 2x^2-4x\times (-1)\]

    \[+5\times 2x^2+5\times (-1)=-8x^3+4x+10x^2-5\]

On peut de plus ordonner l'expression c'est à dire donner le terme de plus haut degré jusqu'au terme de plus bas degré :

    \[-8x^3+40x^2+4x-5\]

 

Factorisation d'une expression

Qu'est ce que la factorisation ? Passons à la seconde partie du cours : comment factoriser, mettre sous forme de facteurs multiplicatifs, une expression littérale.

Factoriser une expression signifie l'exprimer sous forme d'un produit. C'est le contraire du développement.

Pour factoriser, il existe différentes méthodes :

  • avec un facteur commun : par exemple

        \[2x^2-3x\]

    est factorisable par x et peut s'écrire

        \[x(2x-3)\]

    . Un autre exemple est

        \[2(2x-1)-(4x+3)(2x-1)\]

    et il est factorisable par 2x-1 ce qui nous donne

        \[(2x-1)(2-(4x-3))=(2x-1)(-4x+5)\]

  • avec les identités remarquables. En effet, on peut les utiliser dans le sens inverse que lors du développement.

On a

    \[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]

    \[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]

et

    \[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]

Par exemple,

    \[x^2+2x+1\]

peut se factoriser par

    \[(x+1)^2\]

ou encore

    \[16-9x^2\]

est factorisable en

    \[(4-3x)(4+3x)\]

  • Un polynôme est factorisable par

        \[(x-x_n)\]

    où les

        \[x_n\]

    sont les racines du polynôme c'est à dire les valeurs qui annulent le polynôme.

Par exemple, on souhaite factoriser

    \[x^3+x^2-x-1\]

Il est factorisable par (x-1) car 1 est une racine du polynôme. On a alors

    \[(x-1)(x^2+2x+1)\]

A l'aide des identités remarquables, on peut factoriser

    \[x^2+2x+1=(x+1)^2\]

Donc on obtient

    \[x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2\]

et le polynôme admet deux racines : 1 et -1.

En particulier, un polynôme du second degré de la forme

    \[ax^2+bx+c\]

se factorise par

    \[a(x-x_1)(x-x_2)\]

    \[x_1\]

et

    \[x_2\]

sont les racines du polynôme c'est à dire les solutions de l'équation

    \[ax^2+bx+c=0\]

 

Exercices

Comment factoriser des polynomes ? Terminons par différents exercices pour appliquer les notions vues ci-dessus.

Exercice 1 :

Développer les expressions suivantes :

    \[4(2x+3)\]

    \[-(5x^2+1)\]

    \[(x-5)^2\]

    \[(4x+3)(4x-3)\]

et

    \[(-4x+1)(2x-5)\]

Regroupons les réponses dans un tableau :

forme factoriséeméthode utiliséeforme développée
4(2x+3)distributivité8x+12
-(5x²+1)distributivité-5x²-1
(x-5)²2ème identité remarquablex²-10x+25
(4x+3)(4x-3)3ème identité remarquable16x²-9
(-4x+1)(2x-5)double distributivité-8x²+20x+2x-5=-8x²+22x-5

Exercice 2 :

Factoriser les expressions suivantes :

    \[(x-2)+(x-2)(-3+x)\]

    \[x^2-4x\]

    \[4x^2-9\]

    \[4x^2+4x+1\]

et

    \[(4x+3)(2x+2)-(x+1)\]

Donnons les réponses et les méthodes utilisées dans un tableau :

forme factoriséeméthode utiliséeforme développée
(x-2)+(x-2)(-3+x)facteur commun(x+2)(1+(-3+x))=(x+2)(x-2)
x²-4xfacteur communx(x-4)
4x²-93ème identité remarquable(2x+3)(2x-3)
4x²+4x+11ère identité remarquable(2x+1)²
(4x+3)(2x+2)-(x+1)facteur commun(x+1)(2(4x+3)-1)=(x+1)(8x+5)

Exercice 3 :

Factoriser si possible les équations du second degré suivantes :

    \[x^2+3x+2\]

    \[x^2-5x-6\]

    \[3x^2-2x+5\]

    \[3x^2+6x+3\]

Récapitulons les calculs dans un tableau :

forme développéediscriminant : b²-4acracinesforme factorisée
x²+3x+29-8=1x1=-2 et x2=-1(x+2)(x+1)
x²-5x-625+24=49x1=-1 et x2=6(x+1)(x-6)
3x²-2x+54-60=-56aucuneimpossible
3x²+6x+336-36=0x=-13(x+1)²
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Elise

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