Introduction

Vous vous demandiez peut-être d'où venait sa valeur, et qui avait bien pu décider qu'il était égal à 3,14159... et pas à 7,38620... Sachez que cette valeur, personne ne l'a choisie. Elle est là dès que l'on dessine un cercle. Nous ne faisons que la mesurer, la calculer. Voici trois façons de s'approcher physiquement, "concrètement", de cette valeur mythique. Bien sûr, ce ne sera pas d'une terrible précision, mais nous verrons toujours que pi vaut un peu plus que 3 !

Première méthode

Dessinez un cercle au compas sur du carton, découpez-le et tendez une ficelle entre deux points du bord, en passant par le centre. Vous obtenez le diamètre du disque. Marquez-le d'un trait. Reportez-le deux fois sur la ficelle, en marquant un deuxième puis un troisième trait. La longueur entre l'extrémité de la ficelle et ce trait fait trois fois le diamètre. Faites maintenant le tour du disque avec la ficelle. Vous constatez quoi? Que vous bouclez un peu plus loin que le troisième trait.

Moralité :le périmètre vaut un peu plus de trois fois le diamètre. Pour obtenir un résultat plus précis, vous pouvez mesurer, avec la ficelle, la longueur du périmètre et celle du diamètre. En divisant le premier résultat par le deuxième, vous ne devriez pas tomber loin du fameux nombre pi qui nous préoccupe...

Deuxième méthode

Découpez un carré dans le même carton que le disque, en prenant comme côté le diamètre du disque.

Vous savez probablement que la surface du disque vaut pi x R² où R est le rayon du disque. Et que la surface du carré vaut (diamètre)², d'où 2R x 2R = 4R². Donc, si le carton a partout la même épaisseur, le poids du carré divisé par le poids du disque = 4R²/piR² = 4/pi. Pi devrait donc être a peu près égal à : 4 x le poids du disque/le poids du carré. Nous, on a trouvé, pour un disque de 8 g et un carré de 10g : 4 x 8 / 10 = 3,2. Pas mal, non? Surtout avec une balance pas très précise !

Troisième méthode

Avec la même idée de proportionnalité, mais avec des petits points. On dessine, encore une fois, un disque inscrit dans un carré, mais sur une même feuille, cette fois-ci. Ensuite, on fait un quadrillage régulier dans le carré. Un certain nombre de points d'intersection sont situés dans le disque. On les dénombre, et on compare le résultat au nombre total de points d'intersection dans le carré. La formule est la même qu'avec le poids. On devrait trouver que pi est a peu près égal  à : nombre de points d'intersection dans le disque x 4/ nombre total de points d'intersection. Et contrairement au poids, on peut améliorer ce résultat autant que l'on veut (du moins en théorie) : il suffit de faire des quadrillages toujours plus fins !

Pour mesurer ce qui est courbe

Pourquoi tout ce foin autour de pi? Sans doute, entre autres, parce que ce nombre permet de calculer des longueurs et des surfaces qui ne sont pas droites. Et, mine de rien, c'est un tour de force. Rien de plus simple, en effet, que de calculer le périmètre d'un polygone ou sa surface. Pour le périmètre, on additionne les longueurs des côtés, pour la surface, on arrive en principe a découper en triangle. Mais pour un cercle, ou pour d'autres formes courbes, c'est une autre histoire... Pour trouver la surface sous un cycloïde. Galilée avait fini par la peser, faute de meilleur idée ! La théorie de l'intégration, qui démarre au XVIIè siècle, permet d'en calculer un grand nombre, en les approchant par des polygones. C'est encore cette méthode, amélioré, qui est utilisée aujourd'hui !

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !