Introduction

On admet qu'il existe une unique fonction f définie, dérivable sur IR telle que:

Pour tout x appartenant à IR

f(0)=1

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Théorème

1)Pour tout x appartenant à IR, f(x)*f(-x)

2)Pour tout x appartenant à IR, f(x) différent de 0

3)Pour tout x appartenant à IR, f(x)>0

Démonstration

On introduit g définie sur IR par g(x)=f(x)*f(-x)

x→f(x) dérivable sur IR

x→f(-x) composée de x→-x

X→f(X)

donc dérivable

donc g est dérivable sur IR comme produit de 2 fonctions qui le sont, et :

g'(x)=f'(x)*f(-x)+f(x)*-1f'(x)

On dérive en premier x après f(x)

donc g'(x)=f(x)*f(-x)-f(x)*f(-x)

donc g'(x)=0

donc g est une fonction constant sur IR

Or calculons g(0)=f(0)*f(0)=1

donc quelque soit x appartenant à IR, g(x)=1

Raisonnement par l'absurde

On veut démontrer que :

Pour tout x appartenant à IR, f(x) différent de 0

On suppose qu'il existe un réel a telle que f(a)=0

alors f(a)*f(-a)=0 contredit le a)

Donc : Pour tout x appartenant à IR, f(x) différent de 0,

Raisonnement par l'absurde

On veut démontrer que : Pour tout x appartenant à IR, f(x)>0

On suppose qu'il existe un réel telle que f(a)<0

donc f est dérivable sur IR, donc f est continue sur IR

et f(0)=1

et f(a)<0

donc par le théorème des valeurs intermédiaires,

Il existe un réel c comprit entre 0 et a telle que f(x)=0

contredit le b),

Donc pour tout x appartenant à IR, f(x)>0

Remarque : Sachant que f(x) différent de 0 le a) devient : f(-x)=1/f(x)

Synthèse : Pour tout x appartenant à IR, exp'(x)=exp(x)

exp(0)=1

Pour tout x appartenant à IR, exp(-x)=1/(exp(x))

Pour tout x appartenant à IR, exp(x)>0

Propriétés de Calculs

Théorème

Soit b un réel

Pour tout x appartenant à IR, exp(x+b)=exp(x)*exp(b)

Démonstration

Pour tout x appartenant à IR, (exp(x+b))/(exp(x)=exp(b)

Soit g définie dérivable sur IR

Par g(x)=(exp(x+b))/(exp(x))

u:x→exp(x+b) composée: x→x+b

X→exp(X)

u dérivable sur IR pas composition

V:x→exp(x), dérivable sur IR, non nul donc g dérivable sur IR, par quotient,

et g'(x)(1*exp(x+b)*exp(x)-exp(x+b)*exp(x))/(exp(x))²=0

Donc g constante

Or g(0)=(exp(b))/(exp(o))

=(exp(b))/1

=exp(b)

donc Pour tout x appartenant à IR, g(x)=exp(b)

Théorème

Soit b appartenant à IR

Pour tout x appartenant à IR, exp(x-b)=(exp(x))/(exp(b))

Démonstration

exp(x-b)=exp(x+(-b))

=exp(x)*exp(-b) d'après le théorème précédent

=exp(x)*(1/(exp(b)) après exp(-x)=1/(exp(x))

Les propriétés de calculs

Théorème en cours de maths :

Pour tout x appartenant à IR, Pour tout n appartenant à Z (l'ensemble)

exp(nx)=(exp(x))n

Démonstration

a) n appartenant à IN

Raisonnement par récurrence,

b) n appartenant à Z (l'ensemble),n n'appartenant pas à IN

On pose n=-p t onc p appartenant à IN* (exclu 0)

1ier cas

n appartenant à IN,

On utilise la récurrence

-Initialisation à n=0

(esp(x))'=1 (exp(x) différent de 0)

exp(0x)= exp(0)=1

donc l'égalité est vrais pou n=0

-Hérédité

On suppose que pou UN entier naturel n>0, (exp(x))n=exp(nx),

on démontre qu'alors

(exp(x))n+1=(exp((n+1)x)

(exp(x))n+1=(exp(x)n*(exp(x))

=exp(nx)*exp(x)

=exp(nx+x)

=exp((n+1)x)

Conclusion

Pour tout n appartenant à IN, (exp(x))n=exp(nx)

2iemcas

n appartenant à Z et n n'appartenant pas à IN

Posons n=-p, alors p appartient à IN*

(exp(x))n=(exp(x))-p

=1/(exp(x)p

=1/(exp(px))

=exp(-px)

=exp(nx)

Définition

L'image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre e, (approximativement e=~2,718) exp(1)=e

On a:

Pour tout x appartenant à IR, (exp(x))n=exp(nx)

donc en particulier pou x=1

(exp 1)n=exp(n)

donc en=exp(n)

On étend la notation :

on écrira ex au lieu e exp(x)

Synthèse

(ex)'=ex

e0=1

Pour tout x appartenant à IR, ex différent de 0

ex>0

e-x=1/(ex)

ea+b=ea * eb

ea-b=(ea)/(eb)

(ex)n =enx

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !