Propriété et calculs

Théorème

Soit b un réel.

Pour tout x appartenant à R, exp(x+b)=exp(x) * exp(b).

Démonstration

L’exp étant toujours différente de 0, on démontre que :

Pour tout x appartenant à R, exp(x+b) / exp(x)

G est dérivable sur R par g(x)=exp(x+b)/exp(x)

G dérivable comme quotient de :

X|-> exp(x+b), composée de fonctions dérivable sur R.

Et

X|-> exp(x), dérivable sur R, non nulle sur R

Donc :

G’(x) = (1*exp(x+b) * exp(x)   -   exp(x+b) * exp(x) ) / (exp(x))²   =   0

Donc c’est une fonction constante sur R,

Or g(0) = exp(b) / exp(0) = exp(b)

Donc pour tout x appartenant à R, g(x)=exp(b).

Théorème

Soit b appartenant à R.

Pour tout x appartenant à R, exp(x-b) = exp(x) / exp(b)

Démonstration

Pour tout x appartenant à R, exp(x-b) = exp(x+(-b))

=exp(x)*exp(-b) (d’après le théorème précédent).

=exp(x) * 1/exp(b) (d’après exp(-x)=1/exp(x)).

Théorème

Pour tout x appartenant à R, et pour tout n appartenant à N.

Exp(nx) = (expx)n

Démonstration

Pour n appartenant à N

On utilise la récurrence,

-Initialisationà n=0 :

(expx)0 = 1      (expx différent de 0)

(exp0*x)=exp0=1

-Hérédité :

On suppose que pour un entier naturel n >= 0, (expx)n = exp(nx)

On démontre que :

(expx)n+1 = exp((n+1)x)

On a : (expx)n+1 = (expx)n * (expx)

=exp(nx) * expx

=exp(nx+x)

=exp((n+1)x)

 

-Conclusion :Pour tout n appartenant à N, et pour tout x appartenant à R, (expx)n = exp(nx)

 

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Pour n appartenant à Z, et n’appartenant pas à N

On pose n =-p, alors p appartient à N*

(expx)n = (expx)-p

=1 / ((expx)p

=1 / exp(px)

=exp(-x)     (propriéte de l’exponentielle : exp(-x) = 1 /exp(x))

=exp(nx)

 

Donc, avec 1) et 2), on a :

Pour tout n appartenant à Z, et pour tout x appartenant à R, (expx)n = exp(nx)

Définition

L’image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre e.

Exp(1)=e   (e vaut environ 2,718)

(expx)n = exp(nx)

Donc en particulier pour x = 1 : (exp1)n = exp(n)

en = exp(n)

On étend cette notation au réel, on écrira ex au lieu de exp(x).

Ce qui donne avec cette notation :

e0 = 1                                       ea+b=ea+eb

(ex)’=ex                                         ea-b=ea/eb

e-x=1/ex                                    (ex)n=enx

e1=e

Pour tout x appartenant à R, ex est différent de 0

Pour tout x appartenant à R, ex > 0

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !