Propriété et calculs
Théorème
Soit b un réel.
Pour tout x appartenant à R, exp(x+b)=exp(x) * exp(b).
Démonstration
L’exp étant toujours différente de 0, on démontre que :
Pour tout x appartenant à R, exp(x+b) / exp(x)
G est dérivable sur R par g(x)=exp(x+b)/exp(x)
G dérivable comme quotient de :
X|-> exp(x+b), composée de fonctions dérivable sur R.
Et
X|-> exp(x), dérivable sur R, non nulle sur R
Donc :
G’(x) = (1*exp(x+b) * exp(x) - exp(x+b) * exp(x) ) / (exp(x))² = 0
Donc c’est une fonction constante sur R,
Or g(0) = exp(b) / exp(0) = exp(b)
Donc pour tout x appartenant à R, g(x)=exp(b).
Théorème
Soit b appartenant à R.
Pour tout x appartenant à R, exp(x-b) = exp(x) / exp(b)
Démonstration
Pour tout x appartenant à R, exp(x-b) = exp(x+(-b))
=exp(x)*exp(-b) (d’après le théorème précédent).
=exp(x) * 1/exp(b) (d’après exp(-x)=1/exp(x)).
Théorème
Pour tout x appartenant à R, et pour tout n appartenant à N.
Exp(nx) = (expx)n
Démonstration
Pour n appartenant à N
On utilise la récurrence,
-Initialisationà n=0 :
(expx)0 = 1 (expx différent de 0)
(exp0*x)=exp0=1
-Hérédité :
On suppose que pour un entier naturel n >= 0, (expx)n = exp(nx)
On démontre que :
(expx)n+1 = exp((n+1)x)
On a : (expx)n+1 = (expx)n * (expx)
=exp(nx) * expx
=exp(nx+x)
=exp((n+1)x)
-Conclusion :Pour tout n appartenant à N, et pour tout x appartenant à R, (expx)n = exp(nx)
Pour n appartenant à Z, et n’appartenant pas à N
On pose n =-p, alors p appartient à N*
(expx)n = (expx)-p
=1 / ((expx)p
=1 / exp(px)
=exp(-x) (propriéte de l’exponentielle : exp(-x) = 1 /exp(x))
=exp(nx)
Donc, avec 1) et 2), on a :
Pour tout n appartenant à Z, et pour tout x appartenant à R, (expx)n = exp(nx)
Définition
L’image de 1 par la fonction exponentielle est le nombre e.
Exp(1)=e (e vaut environ 2,718)
(expx)n = exp(nx)
Donc en particulier pour x = 1 : (exp1)n = exp(n)
en = exp(n)
| On étend cette notation au réel, on écrira ex au lieu de exp(x). Ce qui donne avec cette notation : e0 = 1 ea+b=ea+eb (ex)’=ex ea-b=ea/eb e-x=1/ex (ex)n=enx e1=e Pour tout x appartenant à R, ex est différent de 0 Pour tout x appartenant à R, ex > 0 |
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