Fonctions exponentielles

e0 = 1. Pour tous réels a et b :

ea+b = ea eb ; ea-b = ea / eb ; (ea)b = eab

Pour tous a et b de ] 0 ; +∞ [ :

ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Pour tous a de ] 0 ; +∞ [ et x de IR : ax = exln(a)

Pour tous x de ] 0 ; +∞ [, log(x) = ln(x) / ln(10)

Pour tous x de P et y de ] 0 ; +∞ [ : y = ex <=> x = ln(y)

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Limites usuelles

Limex = 0

( x → -∞ )

Limex = +∞

( x → +∞ )

Lim ( ( ex – 1 ) / x ) = 1

( x → 0 )

Limln(x) = -∞

( x → 0 )

Limln(x) = +∞

( x → +∞ )

Lim ( ( ln( 1 + x ) ) / x ) = 1

( x → 0 )

Lim ( sin(x) / x ) = 1

( x → 0 )

Croissance comparée

Lim ( ex / xn ) = +∞

( x → +∞ )

Lim xnex = 0

( x → -∞ )

Lim xnln(x) = 0

( x → 0 )

Lim ( ln(x) / xn ) = 0

( x → +∞ )

Dérivation

f(x)

f'(x)

f(x)

f'(x)

k ( k réel )

0

ex

ex

x

1

ln(x)

1 / x

xn ( n ≥ 2 )

nxn-1

sin(x)

cos(x)

1 / x

- 1 / x2

cos(x)

-sin(x)

1 / xn

- n / xn+1

tan(x)

1 / cos2(x)

√x

1 / 2√x

tan(x)

tan2(x) + 1

Opération dérivée

( u + v )' = u' + v'

( ku )' = ku' ( k réel )

( 1 / u )' = -u' / u2

( u / v )' = ( u'v – uv' ) / v2

( un )' = nu'un-1 ( n є IN* )

( √u )' = u' / 2√u

( v◦u )' = u' x ( v'◦u )

( eu )' = u' eu

( ln u )' = u' / u

Équations différentielles

a et b réels, a ≠ 0.

Les solutions de l'équation différentielle y' = a y sont les fonctions f définies sur IR par : f(x) = C eax, où C décrit sur IR.

Les solutions de l'équation différentielle y' = a y + b sont les fonctions f définies sur IR par : f(x) = C eax – ( b / a ), où C décrit sur IR.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !