Vocabulaire

– L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers. En général, il est noté Ω et les issues sont notées, e1, e2, e3, en lorsqu’il y a n issues. Ainsi Ω = { e1, e2, e3, en }.

– Un événement est une partie ( ou un sous ensemble ) de l’univers. Par exemple A = { e1, e4 }.

– Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu’une seule issue. Par exemple B = { e2 }.

– L’évènement A ∩ B est l’évènement « A et B », il contient les issues qui sont à la fois dans A et dans B.

– L’évènement A ∪ B est l’évènement « A ou B », il contient les issues qui sont dans A ou dans B.

– L’évènement contraire de A, noté /A, est l’évènement « non A », il contient toutes les issues de l’univers qui ne sont pas dans A.

– Deux événement A et B incompatibles sont tels que A ∩ B = Ø. ( Ils ne peuvent pas se réaliser en même temps )

Comment trouver l'ensemble de probabilités de deux ensembles ? L’ensemble des probabilités entre A et B

Cette image représente deux ensembles. L’union de ces deux ensembles à savoir les deux cercles représente A ∪ B. L’intersection de ces deux ensembles représente A ∩ B.

Probabilités et propriétés

  • Chaque événement élémentaire { ei } est affecté d’une probabilité qui est un réel noté p({ ei }) appartenant à [ 0 ; 1 ] et tel que la somme des probabilités des évènements élémentaires soit égale à 1.
  • Lorsque tous les évènements ont la même probabilité, on dit que les issues sont équiprobables et dans ce cas p({ ei }) = 1 / n. ( n représente le nombre d’issues de l’univers ).
  • La probabilité d’un événement A, notée p(A), est la somme des probabilités des évènements élémentaires contenus dans A. Dans le cas d’équiprobabilité : p(A) = ( nombre d’éléments dans A ) / ( nombre d’éléments dans Ω ) = ( nombre de cas favorables à la réalisation de A ) / ( nombre de cas dans l’univers ).
  • Pour tous évènements A et B, on a : P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B ). Ainsi que P( /A ) = 1 – P(A).- Lorsque A et B sont incompatibles, on a : P( A ∪ B ) = P(A) + P(B)

 Variables aléatoires définies sur Ω.

Une variable aléatoire X est une fonction définir sur Ω qui prend ses valeurs dans R.

Définir la loi de probabilité de X, c’est déterminer toutes les valeurs xi prises par la variable aléatoire X puis associer à chacune de ses valeurs xi, la probabilité pi de l’évènement « X prend la valeur xi » : notée P( X = xi ).

Les paramètres d’une variable aléatoire X sont :

  • L’espérance : E(X) = somme des termes ( xipi ). L’espérance représente la moyenne théorique de X sur un grand nombre d’expérience.
  • La variance : var(X) = somme des termes ( ( xi – E(X))2 pi ) ou var(x) = E(X2) – ( E(X) )2. ( moyenne des carrées – carrée de la moyenne ). Pour le moment, nous ne pouvons véritablement représenter le rôle de la variance. Ne vous posez pas trop de question et contentez vous de calculer l’écart type avec.
  • L’écart type : σ(X) = √( var(X) ). L’écart type sert à calculer la moyenne de la dispersion des gains. Cela permet ainsi de se rendre compte de l’hétérogénéité des gains.

Probabilité conditionnelle

A et B sont deux évènements d’une même expérience aléatoire avec p(A) ≠ 0.

La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé est défini par :

-> PA(B) = P(A∩B) / P(A)

PA(B) est appelée probabilité conditionnelle : c’est la probabilité de réaliser B lorsqu’on sait avec certitude que A est réalisé.

Arbres pondérés

Dans un lycée, 54% des élèves sont des filles. Parmi les filles, 72% sont externes, parmi les garçons, ce pourcentage est de 76%. On interroge un élève au hasard. On note F, l’évènement « l’élève est une fille » et E, l’évènement « l’élève est externe ».

Dessinons l’arbre pondéré : au départ, deux possibilités : F ou /F, sur chaque branche on écrit P(F) et P(/F). Puis à partir de chaque nœud, il y a deux cas : E ou /E et sur chaque branche partant du nœud, on écrit la probabilité conditionnelle. Ainsi sur la deuxième branche du chemin – F – E, on écrit 0,72.

Représentation de l’arbre :

Comment représenter un arbre de probabilités ? Représentation de l’arbre de probabilités

 

Première règle : la somme des probabilités inscrites sur les branches partant d’un même nœud vaut 1.

Le chemin – F – E représente l’évènement « l’élève est une fille et est externe », c’est à dire F∩E, et d’après la définition ci-dessus P(F∩E) = P(F) x PF(E).

Deuxième règle : Le produit des probabilités inscrites sur les branches d’un chemin représente la probabilité de l’évènement représenté par ce chemin.

Formule des probabilités totales : Si un événement B est la réunion des n événements A1, A2, … , An incompatibles deux à deux, alors p(B) = p(A1) + p(A2) + … + p(An). C’est la généralisation de la formule de la probabilité de la réunion de deux évènements incompatibles deux à deux.

Formule des probabilités totales sur un arbre pondéré :

Trois machines m, n, p réalisent respectivement 20%, 30%, 50% de la production d’une entreprise. On estime que respectivement 1,5%, 2%, 1% des pièces produites par ces machines sont défectueuses. Une pièce est choisie au hasard dans la production. On note M, N, P les évènements respectifs : « la pièce est fabriquée par la machine m » « … n » ou « … p » et on notre B l’évènement « la pièce est bonne ». Faire un arbre pondéré.

Comment représenter des abres de probababilités pondérés ? Arbre de probabilités des 3 machines

 

Il y a trois chemins qui conduisent à la réalisation de B : En déduire que l’évènement B s’écrit comme réunion de trois évènements incompatibles deux à deux : B = (M∩B) ∪ (M∩B) ∪ (M∩B). Ainsi p(B) est égale à la somme des probabilités de ces 3 évènements : on a donc : p(B) = p(M) x PM(B) + p(N) x PN(B) + p(P) x PP(B). C’est la formule des probabilités totales.

Propriété : Si l’univers d’une expérience aléatoire est la réunion d’évènements A1, A2, …, An incompatibles deux à deux, alors pour tout événement B on a :P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + … + P(B∩An).

Troisième règle : La probabilité d’un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E.

Exemple : Une urne contient 3 boules blanches et 5 boules noires. On effectue deux tirages successifs d’une boule sans remise, au hasard. On note N1, « obtenir une noire au 1er tirage » ; B1 « obtenir une blanche au premier tirage » et on note de façon analogue au 2ème tirage.

 

Quelle est la probabilité d’obtenir une boule blanche au second tirage ?

P(B2) = ( 3/8 ) x (2/7) + ( 5/8 ) x ( 3/7 ) = 3/8.

AIDE : Pour faire les calculs rapidement à la calculatrice, utilisez les touches fractionnelles.

Indépendance

Indépendance de deux évènements

Définition : Deux évènements A et B de probabilité non nulle, sont indépendants si et seulement si P( A∩B ) = p(A) x p(B). C’est-à-dire le fait que A soit réalisé ne change pas la probabilité d’obtenir B.

Comment représenter des ensembles indépendants ? Ensembles indépendants et ensembles non indépendants

À l’aide des probabilités conditionnelles, on sait que p(A∩B) = pA x pA(B). Le fait que A soit réalisé ne change pas la probabilité d’obtenir B s’écrit pA(B) = p(B).

Par conséquent, on en déduit que p(A∩B) = p(A) x p(B).

Exemple : Une urne contient 10 boules numérotées et colorées : n°1, 2, 3, 4, 5 sont rouges, n°6, 7, 8 sont bleues et n°9, 10 sont vertes. On tire au hasard simultanément 2 boules. On considère les évènements : A « les deux boules tirées ont la même couleur », B « les deux boules tirées ont des n° impairs .

1. Combien y a-t-il d’issues dans l’univers ?

2. Calculer p(A) et p(B).

3. Quelles issues réalisent l’évènement A∩B ?

4. En déduire p(A∩B).

 

1.L’univers est composé de 10 boules. Il y a donc 10 issues.

2.p(A) = ( 5/10 ) x ( 4/9 ) + ( 3/10 ) x ( 2/9 ) + ( 2/10 ) x ( 1/9 ) = 14/45.

p(B) = ( 5/10 ) x ( 4/9 ) = 2/90.

3.Les issues qui réalisent A∩B sont : { 1R ; 3R ; 5R }.

4.p( A∩B ) = ( 3/10 ) x ( 2/9 ) = ( 1/15 ).

A et B sont-ils interdépendants ? Lorsque l’on tire une boule dans l’un, il est nécessaire d’en soustraire une dans l’autre. A et B sont donc dépendant. En outre p( A∩B ) ≠ p(A) x p(B) = 28/405.

Ne pas confondre événement indépendant et événement incompatible. Supposons A et B deux évènements de probabilité non nulle. A et B indépendant signifie que pA(B) = p(B) alors que A et B incompatibles signifie pA(B) = p(A∩B) / p(A). Donc si A et B sont incompatibles alors p(A∩B) = 0 mais comme ni p(A) ni p(B) n’est nulle alors p(A∩B) ≠ p(A) x p(B) donc A et B ne sont pas indépendant.

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