Chapitre 3 : Dérivation

1]Définitions :

Définition 1 :

Soit f une fonction définie en a.

F est dérivable en a si et seulement si (f(x)-f(a)) / (x-a)      a une limite finie quand x tend vers a

Cette limite est alors appelée le nombre dérivé de f en a, et elle se note f’(a)

Définition 2 :

Soit f une fonction définie en a.

F est dérivable en a si et seulement    (f(a+h)-f(a)) / h     a une limite finie quand h tend vers 0.

[Exemple]

2)Tangente.

Définition :Soit f une fonction définie et dérivable en a.

La tangente à la courbe de f au point d’abscisse en a est la droite de coefficient directeur f’(a).

Equation de la tangente :

Y= f’(a) * (x-a) + f(a)

3)Approximation affine.

Théorème  (admis) :

Soit f une fonction définie en a.

La meilleure approximation affine de f(x), lorsque x est proche de a, est la fonction :

x|~> f’(a)*(x-a)+f(a)

4)Application.

Théorème de variation (admis) :

Soit f définie, dérivable sur un intervalle I.

-Si f’ est strictement positif, ou nulle en un nombre fini de valeurs, sur I

Alors f est strictement croissante sur I.

-Si f’ est strictement négative sur I, ou nulle en un nombre fini de valeurs,

Alors f est strictement décroissante sur I.

-Si f’ est nulle sur I

Alors f est constante sur I.

Théorème extremum (admis) :

-Soit I un intervalle ouvert contenant le réel a.

Si f possède un extremum en a

Alors f’(a) = 0

-Soit I un intervalle contenant le réel a.

Si f’ s’annule et change de signe en a

Alors f possède un extremum en a.

[Exemple]

Remarque sur la 1ère implication :

Intervalle I ouvert :

Si I n’est pas ouvert alors a peut être une borne de l’intervalle I !

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2]Dérivation des fonction composées :

Théorème (admis).

F = g o  u   (g rond u)

Si u est définie et dérivable sur Du et g est définie et dérivable sur Dg

Alors f est dérivable sur Du et f’(x) = u’(x) * g’(u(x))

Théorème.

-SI u est définie, dérivable, strictement positive sur I,

Alors √u est dérivable sur I et (√u)’ = u’ / (2√u)

-Si u définie et dérivable sur I, et n un entier naturel, n >=2

Alors un est dérivable sur I et (un)’ = n*u’*un-1 .

-Si u définie, dérivable, non nulle sur I et n une entier relatif, n <= -2

Alors un dérivable sur I et (un)’ = n*u’*un-1

Soient a,b deux réels, a différent de 0.

X|~> cos(ax+b) est dérivable sur R et (cos(ax+b))’ = -asin(ax+b)

x|~> sin(ax+b) est dérivable sur R et  (sin(ax+b))’ =  acos(ax+b)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !