Démonstration du premier théorème du cours sur les fonctions continues.

Le cours disponible ICI

Rappel du théorème :

Soit f une fonction définie en a.

Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a.

f défini en a donc f(a) existe.

f dérivable en a :  f(x) - f(a)   a une limite finie quand x~>a

x-a

f(a+h)-f(a)  a une limite finie quand h~>0

h

Démonstration du théorème :

Si est est dérivable en a, alors lim   f(x) - f(a)   = f '(a)

x~>a      x-a

Posons g(x) = f(x) - f(a)

x-a

Alors (x - a) g(x) + f(a) = f(x)       ( (x-a) = 0 et g(x) est un nombre finit)

Alors lim f(x) = f(a)

x~>a

Alors f est continue en a.

 

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