Définition

La
fonction logarithme népérien , notée ln , est la
bijection réciproque de la fonction exp :
Pour tout x de
]0 ; +∞[ et tout y de R,
ln x = y <=> ey = x .

La fonction ln a
pour ensemble de définition ]0 ; +∞[
elle vérifie :
- ln(xy) = ln x + ln y avec x >
0 et y > 0
- ln (ex) = x
- eln x = x
avec x > 0
- ln 1 =
0.

Signe
ln(x) ≤
0 sur ]0 ; 1]
ln(x) > 0 sur ]1 ; +∞[

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C'est parti

Propriétés algébriques

Soit x et y appartenant à ]0 ;
+∞[, et n un entier
naturel positif. On a :

ln (xy) = ln (x) + ln (y)

ln (1 / x) = -ln (x)

ln (√x)
= 1/2*ln (x)

ln (x/y) = ln (x) – ln (y)

ln xn = n.ln(x)

Limites

lim
ln (x) = +∞
x
-> ∞

lim
ln (x) / xy = 0
x
-> ∞

lim
ln(1 + h(x)) / h(x) = 1
h(x)
-> 0

lim
ln (x) = -∞
x
-> 0

lim
xrln (x) = 0 (r > 0)
x
-> 0

Dérivation

- ln est
dérivable sur ]0 ; +∞[
et, pour tout réel x > 0 :

ln'(x)
= 1 / x

- ln est
strictement croissante sur ]0 ; +∞[,
donc, pour tous x et y de ]0 ; +∞[
:

x < y <=> ln x < ln y

x = y <=> ln x = ln
y

- si une fonction u est positive et ne s'annule pas
sur un intervalle I , alors ln u est dérivable
sur I et , pour tout x de I :

(ln u)'(x) = u'(x) / u(x)

Fonction logarithme décimal

On
appelle fonction logarithme décimal la fonction , notée
log , et définie sur ]0 ; +∞[
par :

log
(x) = ln (x) / ln (10)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !