Tout d'abord rappel de ce qu'est le théorème des gendarmes :

Soient f, g et h des fonctions définies sur ]b ; +∞[ avec b un réel.

Soit L un réel,

Si pour tout x appartenant à l'intervalle ]b ; +∞[ , g(x)<= f(x) <= h(x)

et lim g(x) = L

x~>+∞

et lim h(x) = L

x~>+∞

Alors lim f(x) = L

x~>+∞

Remarque : Ce théorème aussi valable au voisinage de -∞ et de a. (a = un nombre réel)

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C'est parti

La démonstration du théorème :

On veut démontrer que tout intervalle ouvert contenant L, contient tous les f(x) dès que x est suffisamment grand.

Soit I un intervalle ouvert contenant L.

Par hypothèse , lim g(x)=L donc : il existe un réel a tel que si x >= a alors g(x) appartient à I.

Et par hypothèse, lim h(x) = L, donc il existe un réel A tel que si x>A alors h(x) appartient à I.

Et par hypothèse, si x>b alors g(x) <= f(x) <=h(x)

Donc si x est supérieur au plus grand des trois réel a,b et A on a f(x) qui appartient à I.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !