Somme, produit, valeur absolue et inverse de fonctions continues

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle K.

- Les fonctions  f+g,  fg,  kf  (k∈IR) et |f|  sont continues.

-Si g ne s'annule pas sur K, alors 1/g et f /g  sont continues.

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Exemples

-Toute fonction rationnelle est contionue sur son ensemble de définition.

-La  fonction x→tan x est continue sur tout intervalle de la forme ] π/2+kπ ; π/2+(k+1)π [  ,  (k∈Z).

Composition de fonctions continues

Soient K et K' deux intervalles de IR.

Soit f une fonction continue sur K, telle que f(K)⊂ K' et g une fonction continue sur K' alors  g ο f  est continue sur K.

Il découle de cette propriété que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Image d'un intervalle par une fonction continue

Soit f une fonction continue.

-Si K est un intervalle, alors f(K) est un intervalle.

-Soit [a;b] un intervalle fermé. Alors f([a;b]) est un intervalle fermé. On dit que f atteint ses bornes sur [a;b].

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !