Limite en l'infini

Limite finie

 Définition

Soit L un réel, dire que lim f(x) = L

                                   x~> +∞

Signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les f(x), il suffit de choisir x suffisamment grand.

Définition

Lorsque lim f(x) = L, alors la droite d'équation y=L

              x~>+∞

est asymptote à la courbe au voisinage de +∞.

Définition

Soit L un réel, dire que lim f(x) = L

                                   x~>-∞

Signifie que tout intervalle ouvert contenant L, contient tous les f(x), il s'agit de choisir (-x) suffisamment grand .

Limite infinie

Définition

Soit B un réel, dire que lim f(x) = +∞

                                   x~>+∞

Signifie que tout intervalle de la forme ]B;+∞[ contient tous les f(x) , il suffit de choisir x suffisamment grand.

Définition

Soit d la droite d'équation y=ax+b (a ≠ 0)

Si lim (f(x)-(ax+b))=0

    x~>+∞

          -∞

Alors la droite d est asymptote oblique à Cf au voisinage de +∞

                                                                                       -∞

Attention ! :Une fonction ayant une lim infinie en l'infini n'implique pas nécessairement une asymptote oblique.

~> exemple : f(x)=x²

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Limite quand x~>a

Limite infinie

Définition

Dire que lim f(x) = +∞

x~>a

Signifie que tout intervalle de la forme ]B;+∞[ avec B réel, contient tous les f(x), il suffit de choisir x suffisamment proche de a.

Définition

Si lim f(x) = +∞ alors la droite d'équation x=a est une asymptote

x~>a à Cf.

Limite finie

Définition

 Dire que lim f(x) = l, ou l est un réel,

                   x~>a

Signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les f (x), il suffit de choisir x suffisamment proche de a.

Quelques exemples de fonctions ici.

Méthodes pour lever des indeterminations.

Limites des fonctions composées

ThéorèmeSoient f,g et h trois fonctions :

La fonction f composée de deux fonctions,

f : x |~~>g(x)

                 X|~~>h(X)

f = h o g (se lit "h rond g")

Si lim  g(x) = b           et lim  h(x) = c

    x~>a                            x~>b

Alors lim  f(x) = c

         x~>a

Un exemple :

f(x) = √(x²+x-2), au voisinage de -∞

f est la composée : x|~~>x²+x-2

                                           X|~~>√X

lim x²+x-2 = +∞ (car lim x² = +∞)

x~>-∞                      x~>-∞

et lim √x = +∞

    x~>+∞

Donc par limite des fonctions composées, lim f(x) = +∞

                                                                x~>-∞

Théorème de comparaison

Théorème des gendarmes

Soient f, g et h des fonctions définies sur ]b ; +∞[ avec b un réel.

Soit L un réel,

Si pour tout x appartenant à l'intervalle ]b ; +∞[ ,

g(x)<= f(x) <= h(x)

et lim g(x) = L

x~>+∞

et lim h(x) = L

x~>+∞

Alors lim f(x) = L

x~>+∞

Théorème valeur absolue

Soit f une fonction, définie sur ]b ; +∞[ avec b un réel.

Soit L un réel, soit g une fonction définie sur ]b ; +∞[

Si x > b, |f(x) - L| <= g(x)

et lim  g(x) = 0

    x~>+∞

alors lim   f(x) = L

x~>+∞

Théorème de minoration, majoration

-Soit f, g deux fonction définies sur ] b ; +∞ [, avec b un réel

Si pour x>b, f(x) >= g(x)

et lim   g(x) = +∞

x~>+∞

Alors lim   f(x) = +∞

x~>+∞

-Si pour x>b, f(x)<=g(x) et lim g(x) = -∞

x~>+∞

Alors lim f(x) = -∞

x~>+∞

Continuité

Définition :  Soit a un réel.

Soit f une fonction définie en a .

F est continue en a si et seulement si lim   f(x) = f(a)

x~>a

Théorème

Soit f une fonction définie en a.

Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a.

f défini en a donc f(a) existe.

f dérivable en a :  f(x) - f(a)   a une limite finie quand x~>a

x-a

f(a+h)-f(a)  a une limite finie quand h~>0

h

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], continue sur [a ; b]

Alors quelque soit le réel k compris entre f(a) et f(b), il existe (au moins) un réel c qui appartient à [a ; b], tel que f(c) = k

Théorème de bijection

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b], continue sur [a ; b], strictement monotone sur [a ; b].

Alors quelque doit le réel k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique réel c qui appartient [a ; b], tel que f(c)=k

Remarque : Les intervalles peuvent avoir des bornes infinies (cours de mathématiques).

Remarque admise : Lorsqu'une fonction est continue, l'image d'un intervalle est un intervalle.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !