Introduction

L'equation x²=a, lorsque a<0 , n'a pas de solution réelle. On adopte un nombre dont le carré vaut (-1). (Ce n'est pas une réel).

Ce nombre n'est pas noté √(-1) car il ne coinciderait pas avec les formules sur les racine carré.

√(ab) = √(a) √(b) , D'une part : √(-1)(-1) = √(1)

√(-1) * √(-1) = (√(-1))² = -1

Ce nombre dont le carré vaut (-1) sera noté i

 i²=-1

x²=a , a<0

x²=-(-a)

x²=i² * (-a)

x=i√(-a) ou x=-i√(-a)

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Ecriture algébrique des nombres complexes

Définition : Tout nombre complexe en écriture algébrique est de la forme

a+ib , a Є IR

b Є IR

L'ensemble de tous les nombres complexes noté ¢

Exemple : z=2-√(3)i complexe en forme algébrique

z=-3 z Є IR , z Є Z (l'ensemble)

z Є ¢ a=-3 b=0

z=-(1/7)i écriture algébrique a=0 b=-1/7

Vocabulaire : z=a+ib

. a s'appelle la partie réelle de z : a=Re(z)

. b s'appelle la partie imaginaire de z : b=Im(z)

. z Є IR <=> m(z)=0

. z est imaginaire pur <=> Re(z)=0

Théorème (admis) :

. Deux complexe sont égaux <=> leur partie réelles égales

<=> leur partie imaginaire sont égales

a Є IR, b Є IR, a' Є IR, b' Є IR

a+ib=a'+ib' <=> a=a' b=b'

. Un complexe est nul <=> ses partie réell et imaginaire sont nulles

a+ib=0 <=> a=0 b=0

Calculs sur les complexes :

On admet qu'on peut additionner, soustraire, multipliée et appliquer les identité remarquable comme avec les réels.

z1=1-2i      z2=3+4i

z1+z2  ;  z1-z2  ;  z1z2  ;  z1² ;  √(2) z1-z2

⧫z1+z2=1-2i + 3+4i=4+2i

⧫z1-z2=-2-6i

⧫z1z2=11-2i (on a i²=1)

⧫z1²=-3-4i

⧫√(2) z1-z2=√(2)-6 + i(-2√(2)-8)

√(2)-6 est la partie réel

(-2√(2)-8) est la partie imaginaire

 Cas l'inverse et du quotient

1/z1 = 1/(1-2i)

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué de 1-2i qui est 1+2i.

=(1+2i) / (1-2i)(1+2i)

=(1+2i) / (1²-(2i)²)

=(1+2i) / 5

1/z1 = 1/5 + (2/5)i

1/5 est la partie réel et (2/5)i est la partie imaginaire

z1/z2= (1-2i) / (3+4i)

= [(1-2i)(3-4i)] / [(3-4i)(3-4i)]

= (3-4i-6i-8) / (9+16)

= (-5-10i) / 25

=-(1/5)-(2/5)i

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !