CE QU'IL FAUT RETENIR DU CHAPITRE DE DÉRIVATION.

FICHE RÉCAPITULATIF

CETTE FICHE ACCOMPAGNE LE COURS DE ROMAIN : DISPONIBLE ICI.

1 : Comment déterminer si une fonction est dérivable en une valeur ?

Pour déterminer si une fonction est dérivable en une valeur précise, il nous suffit simplement de calculer le taux de variation et de regarder si ce dernier tend vers un nombre fini. On peut calculer le taux de variation d'une fonction à l'aide de ces deux formules :

τ = ( f(x) – f(a) ) / x – a

τ = ( f(a+h) – f(a ) ) / h

ATTENTION : Après avoir calculé le taux de variation, vous trouverez une relation avec des x, ne vous en arrêtez donc pas là, car la question est loin d'être terminée. Pour conclure définitivement sur la dérivabilité de la fonction en un point, vous devrez calculer les limites de cette relation :

 

EXEMPLE : On cherche à savoir si la fonction f est dérivable en 0. Après avoir calculé le taux de variation, on trouve τ = x |x|

 

Pour conclure que la fonction est dérivable en 0 on calcule les limites de ce résultat quand x tend vers 0 :

 

lim x |x| = 0

x→0

 

Le résultat 0 est un nombre fini, la fonction est donc dérivable en 0.

2 : Comment calculer l'équation de la tangente à la courbe en une point ?

Vous devez comprendre que la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite de coefficient directeur f'(a). Pour calculer l'équation de cette tangente, il nous suffit de résoudre la relation suivante :

y = f'(x) ( x – a ) + f(a)

3 : A quoi cela sert-il de faire une approximation affine ?

Une approximation affine se calcule par la relation suivante ( qui la même que l'équation de la tangente à la courbe en ce point ) :

x = f'(a) ( x – a ) + f(a)

Une approximation affine sert à faciliter le regard des caractéristiques de la courbe au point d'étude.

4 : Comment déterminer les variations d'une fonctions par rapport au signe de la dérivée ?

Rappelez vous que la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite de coefficient directeur f'(a).

Par conséquent, si f' est strictement positif ou nulle en un nombre fini de valeur sur I, alors f est strictement croissante sur I. De la même manière si f' est négative ou nulle sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

En revanche, si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

5 : Comment pouvons-nous déduire que la fonction f admet un extremum en un point de la courbe, simplement en étudiant le signe de la fonction dérivée f' ?

Vous devez comprendre que dans un intervalle ouvert I contenant le réel a, si f possède un extremum en a alors f'(a) = 0.

De la même manière, si f' s'annule et change de signe en a alors f possède un extremum en a.

Il est très important que l'intervalle I soit ouvert car si I n'est pas ouvert, alors a peut être une borne de l'intervalle. La fonction f possèdera alors un extremum sur I en a, et pourtant f'(a) sera différent de 0.

6 : Comment peut-on parvenir à dériver une fonction composée ?

Pour cela, reportons-nous au théorème pur et simple du cours qui stipule :

Théorème admis : f : x → u(x)

X → g(X)

 

La fonction f se note f = g ◦u

 

On suppose que u est définie et dérivable sur Du et g défini et dérivable sur Dg. Alors g est dérivable sur Du et f'(x) = u'(x) x g'(u(x))

7 : Quel sont les formules principales de simplification pour dérivée une fonction composée ?

Pour √u : ( √u )' = u' / 2√u

Pour un : ( un )' = n x u' x un-1.

→ si n est =< -2 ou => 2.

8 : Que vaut (cos(ax+b))' et (sin(ax+b))' ?

(cos(ax+b))' = -asin(ax+b)

(sin(ax+b))' = acos(ax+b)

Retenez également que cos²(x) + sin²(x) = 1

9 : Que vaut ( tanx )' ?

Vous devez savoir que tanx = sinx / cosx et que (tanx)' = 1 / cos²x = 1 + tan²(x)

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