Chapitre 4 : Primitives.

Dans ce cours faites attention à bien faire la différence entre f (petit f) et F (grand f).

 

Définition :

 

Soit f une fonction continue, dérivable sur I.

F est une primitive de f sur I.

Si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x appartenant à I, F’(x) = f(x)

Exemple :

f(x) = cosx – xsinx

F(x) = xcosx

Démontrez que F est une primitive de f sur R.

F est dérivable sur R et F’(x) = cosx + x(-sinx)

=cosx-xsinx

=f(x)

Donc F est une primitive de f.

Une autre primitive de f est :

G(x) = xcosx+1

D’autres sont :

x~> xcosx + k, k appartenant à R.

Donc une fonction admet une infinité de primitives.

Théorème :

 

Soit f une fonction continue dérivable sur I.

 

-1)Si F est une primitive de f sur I

Alors F+k est aussi une primitive de f sur I

 

-2)Si F est G sont deux primitives de f sur I,

Alors il existe un réel k (appartenant a R) tel que pour tout x appartenant a I,

F(x) – G(x) = k

Démonstration :

1)Calculons la dérivée de F+k :

(F+k)’(x) = F’(x)

Or F primitive de f donc F’=f

Donc  (F+k)’(x)= f(x)

Donc F+k est une primitive de f.

2)Si F et G sont deux primitives de f sur I

Alors F’(x) = f(x) et G’(x)= f(x)

Alors F’(x) – G’(x) = 0

Alors (F-G)’(x) ) = 0

Alors il existe un réel k tel que : F(x) – G(x) = k

Ainsi, les primitives d’une fonction défèrent d’une constante.

On obtient les courbes des différentes primitives par translation de l’une d’elle par kj (vecteur j).

Exemple :

f(x) = x²

Une primitive de f est

F(x)= (1/3)x3, en effet F’(x) = (1/3)*3x²=x²=f(x)

Donc toutes les primitives sont : x|~>(1/3)x3+k , k appartenant a R.

Déterminez la primitive de f qui prend la valeur 0 en 1.

G(x) = (1/3)x3 + k

G(1) = 0

(1/3) * 13+k = 0

k = -(1/3)

La recherche des primitives se fait par lecture inverse du tableau de dérivation.

(Si vous n’y parvenez pas il reste encore la solution d’apprendre le tableau des primitives)

 

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !