Définition

La
fonction exponentielle, notée exp, est :

  • dérivable
    sur
  • f'
    = f

Conséquences
:
- exp(0) = 1
- exp est dérivable sur

et exp'(x) = exp(x)
- pour tout réel x, exp(x) > 0
-
exp est strictement croissante sur R

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Notation

On
pose e = exp(1)
A l'aide de la calculatrice, e ≈ 2,718

e
≈ 2,718

Par
convention, on pose exp(x) = ex pour tout réel x.

Propriétés

Pour tous réels x et y,

exp(x
+ y) = exp(x) × exp(y)

Donc
:

exp(x
- y) = exp(x) / exp(y)

exp(-y)
= 1/exp(y)

exp(nx)
= (exp(x))n (avec n entier naturel)

exp(x/n)
= n√(exp(x))
(avec n ≥ 1)

cas
particulier : exp(1
/ 2) = √(exp(1)) = √e

Limites

  • Propriétés
    asymptotiques

lim
ex = +∞
x
-> +∞

lim ex = 0
x
-> -∞

  • Croissance
    comparée

Pour
tout entier naturel non nul n, on a :

- lim ex
/ xn = +∞ quand x tend vers +∞

- lim
xn ex = 0 quand x tend vers -∞

Remarque
:
A l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x.

Tableau des variations et courbe représentative

  • Tableau
    de variations
  • Courbe
    représentative

Dérivée de eu

Soit
u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Alors eu
est dérivable sur l'intervalle I et on a :

(eu)'
= u' × eu

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !