Introduction

On parle souvent, en mathématique, de fonctions continues. Mais qu'est ce que c'est ? De manière très simplifiée, on dit qu'une fonction continue est une fonction que l'on peut tracer sans lever le crayon. Ici, nous allons définir cette notion plus précisément.

Les meilleurs professeurs de Maths disponibles
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (79 avis)
Anis
70€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (109 avis)
Greg
130€
/h
1er cours offert !
Houssem
5
5 (106 avis)
Houssem
60€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (91 avis)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (89 avis)
Grégory
115€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (45 avis)
Pierre-thomas
60€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 avis)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (81 avis)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert !
Anis
4,9
4,9 (79 avis)
Anis
70€
/h
1er cours offert !
Greg
5
5 (109 avis)
Greg
130€
/h
1er cours offert !
Houssem
5
5 (106 avis)
Houssem
60€
/h
1er cours offert !
Laurent
4,9
4,9 (91 avis)
Laurent
50€
/h
1er cours offert !
Grégory
5
5 (89 avis)
Grégory
115€
/h
1er cours offert !
Pierre-thomas
5
5 (45 avis)
Pierre-thomas
60€
/h
1er cours offert !
Jean-charles
5
5 (20 avis)
Jean-charles
20€
/h
1er cours offert !
Ahmed
4,9
4,9 (81 avis)
Ahmed
40€
/h
1er cours offert>

Définition de la continuité

A quoi ressemble une fonction continue ?
Une fonction continue est une fonction que l'on peut dessiner sur un graphe sans lever son crayon. Celle-ci en est un exemple.

 

Comment reconnaitre une fonction continue ?
A l'inverse, cette fonction n'est pas continue.

Pour comprendre la notion de continuité il faut au préalable avoir étudié la notion de limite.

Par définition, une fonction est continue en a si

    \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)\]

Ainsi, f est continue sur un ensemble I si elle est continue en tout point de cet ensemble.

Une fonction est continue à droite en a si

    \[\lim_{x \rightarrow a+}f(x)=f(a)\]

et continue à gauche en a si

    \[\lim_{x \rightarrow a-}f(x)=f(a)\]

Beaucoup de fonctions que l'on connait sont continues sur leurs ensembles de définitions : les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions sinus et cosinus, la fonction exponentielle, la fonction racine carré, la fonction valeur absolue, etc.. De même, la fonction inverse est continue sur son ensemble de définition : elle est continue sur

    \[]-\infty,0[\]

et sur

    \[]0,+\infty[\]

La somme, le produit, le quotient et la composée de fonctions continues sont continues.

Soit f et g deux fonctions continues en a, alors f+g et f-g sont continues en a,

    \[f\times g\]

est continue en a

    \[k\times f\]

est continue en a pour tout réel k et

    \[\frac{f}{g}\]

est continue en a.

Si g est continue en x0 et si f est continue en g(x0) alors la fonction composée f o g est continue en x0.

Si g continue sur I et f continue sur g(I) alors la fonction composée f o g est continue en x0.

Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue sur R mais pas dérivable en 0.

Où trouver des cours de maths pour réviser avant une épreuve ?

Exercices d'application

Appliquons notre définition de la continuité à différentes fonctions.

Regardons deux exemples distincts.

Soit f une fonction définie sur R par

    \[\begin{cases}f(x)=(x-1)^{2}+1& si &x\leq1 \\f(x)=x &si &x >1\end{cases}\]

La fonction

    \[g(x)=(x-1)^{2}+1\]

est continue sur R, donc continue pour x<1. Ainsi, f(x) continue sur

    \[]-\infty,1[\]

La fonction

    \[h(x)=x\]

est continue sur R, donc continue pour x>1. Ainsi, f(x) continue sur

    \[]1,+\infty[\]

Il reste à vérifier que f n'admet pas de discontinuité au point 1.

On étudie, par définition, si

    \[\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=f(1)\]

Pour cela on étudie la limite à gauche et à droite en 1.

    \[\lim_{x \rightarrow 1-}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1-}(x-1)²+1 = 1\]

    \[\lim_{x \rightarrow 1+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1+}x =1\]

Ainsi, les limites à gauche et à droite en 1 sont égales, donc :

    \[\lim_{x \rightarrow 1} f(x)=1\]

Alors on dit que la fonction f est continue en 1.

Donc f est continue sur R.

Regardons un deuxième exemple.

La fonction partie entière notée

    \[f(x)=\llcorner x \lrcorner = E(x)\]

où x est un réel.

On admet qu'il existe un unique entier naturel n tel que :

    \[n\leq x<n+1\]

où n est la partie entière de x.

f(0) = 0 car 0 ≤ 0 < 1

f(1) = 1 car 1 ≤ 1 < 2

f(1,2) = 1 car 1 ≤ 1,2 < 2

f(√ 7) = 2 car 2 ≤ √7 < 3

f(-1) = -1 car -1 ≤ -1 < 0

f(-1,8) = -2 car -2 ≤ -1,8 < -1

Regardons la fonction au voisinage de 1 :

    \[\lim_{x \rightarrow 1+} f(x)=1\]

et

    \[\lim_{x \rightarrow 1-} f(x)=0\]

Les limites à gauche et à droite ne sont pas égales, la fonction n'a donc pas de limite en 1 et f admet une discontinuité. En chaque entier relatif, on a une discontinuité. Donc f est continue sur chaque intervalle [n,n+1[ où n est un entier relatif.

Donc la fonction partie entière n'est pas continue.

Besoin de revoir vos cours de maths 3ème ?

Conséquences de la continuité

Théorème des valeurs intermédiaires

Énoncé : Soit une fonction f continue sur un intervalle [a,b]. Pour tout réel compris entre et , il existe au moins un réel de l’intervalle tel que . De cette façon, l’équation possède au moins une solution appartenant à .

Théorème de la bijection

Énoncé : Soit une fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle [a,b]. Pour tout réel compris entre et , il existe un unique réel de l’intervalle tel que .

Exercice : Prenons la fonction

    \[f(x)=x^{3}-3\times x +1\]

et montrons que l'équation f(x)=0 admet exactement 3 solutions.

Comment tracer une fonction continue ?
Voici le graphe de notre fonction.

La fonction admet pour dérivée

    \[f'(x)=3\times x^{2} -3\]

On cherche à connaître le signe de f'(x). On détermine f'(x)=0

    \[x^{2} =\frac{3}{3}=1\]

Donc f'(x)=0 admet deux solutions, x=1 et x=-1.

Donc f est strictement croissante sur

    \[]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\]

et f est strictement décroissante sur ]-1,1[.

Comme f(1)=-1 et f(-1)=3, on obtient la tableau de variation suivant :

Qu'est ce qu'un tableau de variation ?
On met les variations dans un tableau afin d'étudier plus facilement la fonction.

0 appartient à 

    \[]-\infty,3[\]

et f continue et strictement croissante sur

    \[]-\infty,-1[\]

donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur

    \[]-\infty,-1[\]

0 appartient à 

    \[]-1,3[\]

et f continue et strictement décroissante sur

    \[]-1,1[\]

donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur

    \[]-1,1[\]

0 appartient à 

    \[]-1,+\infty[\]

et f continue et strictement croissante sur

    \[]1,+\infty[\]

donc l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur

    \[]1,+\infty[\]

Finalement, l'équation f(x)=0 admet exactement 3 solutions sur R.

Prolongement par continuité

Qu'est ce que le prolongement par continuité ?
Finissons par une notion un peu plus compliquée.

Soit un intervalle I. Soit f une fonction définie sur I\{a}, où a est un point de l'intervalle I. Si la limite de f en a est "l" alors f est prolongeable par continuité. On note son prolongement

    \[\widehat{f}=\begin{cases}f(x) &si& x \neq a\\l &si& x = a\end{cases}\]

Étudions la fonction f définie par

    \[f(x)=\frac{\sin x}{x}\]

L'ensemble de définition de f est Df = R*=R\{0}

Au voisinage de 0 nous trouvons une forme indéterminée : 0/0

On lève l'indétermination en appliquant la règle de l’hôpital, applicable aux formes indéterminées du type

    \[\frac{0}{0}\]

et

    \[\frac{\infty}{\infty}\]

On obtient :

    \[\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0} \cos x=1\]

Ainsi, f(x) admet une limite en 0. Donc on peut prolonger f par continuité en posant :

    \[\widehat{f}=\begin{cases}\frac{\sin x}{x} &si& x \neq 0\\1 &si& x = 0\end{cases}\]

Il existe beaucoup d'autres fonctions non définis en un point, mais toutes ne sont pas prolongeables par continuité. Par exemple, la fonction

    \[\frac{1}{x}\]

n'est pas prolongeable par continuité. En effet, la fonction est continue sur R* mais la limite en 0 n'existe pas.

Besoin d'un professeur de Maths ?

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 4,00/5 - 2 vote(s)
Loading...

Elise

Freelancer, superprof et étudiante en mathématiques, je souhaite partager et étendre mes connaissances grâce à vous !