Forme algébrique

FORME ALGÉBRIQUE : z = x + iy

i2 = -1

Partie réelle : Re(z) = x

Partie imaginaire : Im(z) = y

Module l z l = OM = √( zz/ ) = √( x2 + y2 )

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 Forme trigonométrique

FORME TRIGONOMÉTRIQUE ( z ≠ 0 ) : z = r ( cosθ + isinθ )

l z l = r, arg(z) = θ

Forme exponentielle de z : z = r eiθ

Conjugué = z/ = x – iy = re-iθ

Propriétés des modules

PROPRIÉTÉS DES MODULES :

AB = l zB – zA l

l z l = 0 <=> z = 0, l -z l = l z/ l = l z l

Inégalité triangulaire

INÉGALITÉ TRIANGULAIRE : l z + z' l ≤ l z l + l z' l

l z z' l = l z l l z' l

Pour z ≠ 0 : l 1 / z l = 1 / l z l, l z' / z l = l z' l / l z l

Propriétés des arguments

pour z ≠ 0 et z' ≠ 0 :

arg( z z' ) = arg( z ) + arg ( z' )

arg ( 1 / z) = - arg( z )

arg ( z / z' ) = arg( z ) - arg ( z' )

Équations du second degré

a, b, c réels, a ≠ 0, ( E ) : az2 + bz + c = 0

Δ = b2 – 4ac

 - Pour Δ > 0, deux solutions réelles :

 ( - b - √Δ ) / 2a et ( - b + √Δ ) / 2a

- Pour Δ = 0, une seule solution : ( -b / 2a )

- Pour Δ < 0, deux solutions conjuguées :

( -b - i√( l Δ l ) ) / 2a et ( -b + i√( l Δ l ) ) / 2a

A, B et C étant des ponts deux à deux distincts :

l ( zb – za ) / ( zc – za ) l = AB / AC et arg ( ( zb – za ) / ( zc – za ) ) = ( →AC, →AB )

Les nombres complexes

- La translation du vecteur →w d'affixe b : z' = z + b

- l'homothétie de centre Ω et de rapport k : z' – zΩ = k ( z - zΩ )

- la rotation de centre Ω et d'angle α : z' – zΩ = eiα ( z – zΩ )

L'addition

cos ( a + b ) = cos(a) cos(b) – sin(a) sin(b)

cos ( a – b ) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

sin ( a + b ) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

sin ( a – b ) = sin(a) cos(b) – cos(a) sin(b)

La duplication

cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2cos2(a) – 1 = 1 – 2sin2(a)

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Comment trouver le bon cour de math ?

Suites arithmétiques

Pour tout n de IN : un+1 = un + r et un = u0 + nr

Suites géométriques

Pour tout n de IN : un+1 = q un et un = u0 qn

Sommes de termes

1 + 2 + … + n = ( n ( n +1 ) ) / 2

Si q ≠ 1, alors : 1 + q + q2 + … + qn = ( 1 – qn+1 ) / ( 1 – q )

Limites d'une suite géométrique

- Si -1 < q < 1, alors lim qn = 0 ( n → +∞ )

- Si q > 1, alors lim qn = +∞ ( n → +∞ )

- Si q < -1 alors la suite n'a pas de limite.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !