Introduction

On admet qu’il existe une unique fonction définie dérivable sur R, tel que :

-Pour tout x appartenant à R, f’(x)=f(x)

-f(o)=1

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 Théorème

1)Pour tout x appartenant à R, f(x)*f(-x)=1

2) Pour tout x appartenant à R, f(x) différent de 0

3) Pour tout x appartenant à R, f(x)>0.

 Démonstration

1)Pour démontrer que tout x sur R, f(x)*f(-x)=1,

On introduit la fonction g définie sur R par g(x)=f(x)*f(-x) et on démontre que g est une fonction constante.

f est dérivable sur R et la fonction qui associe a x f(-x) et dérivable  sur R comme composée de deux fonctions dérivable sur R : x|-> -x

X|->(X)

Donc, par produit, g est dérivable sur R et g’(x) =  f’(x)*f(-x)+f(x)*(-1)*f’(x)

= f(x)*f(-x)-f(x)*f(-x)     (d’après f(x)              = f’(x))

g’(x)=0

 

Donc la fonction g est une fonction constante sur R.

Or g(o) = f(0)*f(0)=1

Donc pour tout x appartenant à R, g(x)=1

Raisonnement par l’absurde

Pour démontrer que pour tout x appartenant a R, f(x) différent de 0,

On suppose qu’il existe un réel a tel que f(a)=0

Alors, f(a)*f(-a)=0 -> Contredit le 1.

Donc pour tout x appartenant a R, f(x) différent de 0.

Raisonnement par l’absurde

On suppose qu’il existe un réel a tel que f(a)<0

Or f est dérivable sur R donc continue sur R.

f(a)<0

f(0)=0

donc, par le théorème des valeurs intermédiaires,

il existe un réel c compris entre 0 et a, tel que f(c)=0

àContredit le 2.

Donc, pour tout x appartenant à R, f(x) > 0

Remarque :

Sachant que :Pour tout x appartenant à R, f(x)différent  de 0,

Alors le 1 peut s’écrire :

Pour tout x appartenant à R, f(-x) = 1/f(x)

Cette fonction est la fonction exponentielle.

Elle est notée exp.

 

Synthèse

Pour tout x appartenant à R, exp’(x)=exp(x)

Exp(0)=1

Pour tout x appartenant à R, exp(-x)=1/(exp(x)

Pour tout x appartenant à R, exp(x)>0.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !