Rappel

Le laplacien vectoriel et sa formule
Ensemble des calculs du laplacien vectoriel (source : fracademic)

Pour rappel, en coordonnées scalaires, on définit les éléments suivants : gradient, divergence, rotationnel et Laplacien. Ces opérateurs sont construits à partir de l'opérateur Nabla noté overrightarrow{triangledown} On définit ainsi le gradient appliqué à un champ scalaire : Gradient : overrightarrow{triangledown P} = begin{cases} frac{partial P}{partial x} frac{partial P}{partial y} frac{partial P}{partial z}end{cases} Lorsqu'on effectue le produit scalaire entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel, on obtient la divergence en un champ scalaire : Divergence : overrightarrow{triangledown u} = frac{partial u_{x}}{partial x} + frac{partial u_{y}}{partial y} + frac{partial u_{z}}{partial z} Lorsqu'on effectue le produit vectoriel entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel, on obtient le rotationnel : Rotationnel : overrightarrow{triangledown P} wedge overrightarrow{u} = begin{bmatrix} frac{partial }{partial x}u_{x} frac{partial }{partial y}u_{y} frac{partial }{partial z}u_{z} end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{partial u_{z}}{partial y} - frac{partial u_{y}}{partial z} frac{partial u_{x}}{partial z} - frac{partial u_{z}}{partial x} frac{partial u_{y}}{partial x} - frac{partial u_{x}}{partial y} end{bmatrix} Enfin, il existe le laplacien scalaire et le laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire est l'application au champ scalaire du carré : Laplacien scalaire : triangle P = overrightarrow{triangledown^{2} P} = frac{partial^{2} P }{partial x^{2}} + frac{partial^{2} P }{partial y^{2}} + frac{partial^{2} P }{partial z^{2}} Le laplacien vectoriel est l'application du laplacien scalaire à chacune des composantes du champ vectoriel : Laplacien vectoriel : overrightarrow{triangledown^{2} u} = begin{bmatrix} frac{partial^{2}u_{x} }{partial x^{2}} + frac{partial^{2}u_{x} }{partial y^{2}} + frac{partial^{2}u_{x} }{partial z^{2}}frac{partial^{2}u_{y} }{partial x^{2}} + frac{partial^{2}u_{y} }{partial y^{2}} + frac{partial^{2}u_{y} }{partial z^{2}} frac{partial^{2}u_{z} }{partial x^{2}} + frac{partial^{2}u_{z} }{partial y^{2}} + frac{partial^{2}u_{z} }{partial z^{2}} end{bmatrix} On peut résumer grossièrement l'ensemble des calculs du laplacien vectoriel dans l'image ci-dessous.   Par ailleurs, en coordonnées cylindriques, l'ensemble de ces calculs diffèrent. On peut résumer l'ensemble des éléments de calcul, à savoir la divergence, lien le gradient, le rotationnel et le laplacien dans l'image ci-dessous.

Comment calculer les valeurs de coordonnées cylindriques ?
Ensemble des formules en coordonnées cylindriques
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Théorème de flux divergence

Le théorème de flux divergence également appelé le théorème de Green-Ostrogradski est un théorème mettant en évidence le lien entre l'intégrale de la divergence et le flux du champ : int_{}^{} int_{}^{} int_{V}^{} overrightarrow{triangledown}.overrightarrow{F}.DV=oint_oint overrightarrow{F}.doverrightarrow{S} avec V étant le volume partial V étant la frontière du volume d.overrightarrow{S} étant le vecteur normal à la surface overrightarrow{F} est dérivable en tout point du volume overrightarrow{triangledown} est l'opérateur nabla.

Comment représenter le théorème de flux divergence ?
Représentation graphique du théorème de flux divergence

 

Exercices corrigés

Exercice

Exercice 1 :  Calcul de gradient et divergence Pour chacune des coordonnées suivantes, déterminer les coordonnées du gradient de f où f est le champ scalaire suivant : f(x,y,z) = xyz + xz^{2} + y^{2}z f(x,y,z) = xyz*xy + xz^{2} + xy^{2}z f(x,y,z) = xyz + xz^{2} + y^{2}z f(x,y,z) = sin(x)y + cos(z)x f(x,y,z) = sin(x)y^{2} + cos(y)x^{2} Pour chacune des coordonnées suivantes, déterminer la divergence de f où f est le champ scalaire suivant : f(x,y,z) = (2x^{2}y,2xy^{2},xy) f(x,y,z) = (sin(xz),0,cos(xz)) f(x,y,z) = (x(2y+z),−y(x+z),z(x−2y)) f(x,y,z) = (sin(x)y,cos(x)y,2sin(x)cos(y)) f(x,y,z) = (sin(x)yx^{2},cos(x)yx,2xsin(x)cos(y)) Exercice 2 :  Calcul du rotationnel On sait qu'un champ de vecteur F dérive d'un potentiel scalaire s'il existe un champ scalaire f tel que F = grad(f). Démontrer que le champ suivant possède un rotationnel nul : F(x,y,z) = (2xy + z^{3},x^{2},3xz^{2}) défini sur R^{3}

Comment prendre des cours de math ?

Corrigés

Exercice 1: 1. On calcul la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : frac{partial f}{partial x} = yz + z^{2} + 0 = z(y + z) frac{partial f}{partial y} = xz + 0 + 2yz = z(x + 2y) frac{partial f}{partial z} = xy + 2zx + y^{2} = x(y+2z) + y^{2} D'où grad(f) = (z(y + z), z(x + 2y) , x(y+2z) + y^{2})   2. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : frac{partial f}{partial x} = 2xy^{2}z + z^{2} + y^{2} frac{partial f}{partial y} = 2yx^{2}z + 0 + 2xyz = z(2yx^{2} + 2xy) frac{partial f}{partial z} = x^{2}y^{2} + 2zx + xy^{2} = x(xy^{2} + 2z + y^{2}) D'où grad(f) = (2xy^{2}z + z^{2} + y^{2},2yx^{2}z + 0 + 2xyz = z(2yx^{2} + 2xy) ,x(xy^{2} + 2z + y^{2}))   3. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : frac{partial f}{partial x} = yz + z^{2} + 0 = z(y + z) frac{partial f}{partial y} = xz + 0 + 2yz = z(x+2y) frac{partial f}{partial z} = xy + 2xz + y^{2} D'où grad(f) = (z(y + z),z(x+2y),xy + 2xz + y^{2})   4. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : frac{partial f}{partial x} = cos(x)y + cos(z) frac{partial f}{partial y} = sin(x) + 0 = sin(x) frac{partial f}{partial z} = 0 -xsin(z) = -xsin(z) D'où grad(f) = (cos(x)y + cos(z),sin(x), -xsin(z) )   5. On calcule la dérivée partielle pour chacune des coordonnées du gradient : frac{partial f}{partial x} = cos(x)y^{2} + 2xcos(y) frac{partial f}{partial y} = 2ysin(x) - sin(y)x^{2} frac{partial f}{partial z} = 0 D'où grad(f) = (cos(x)y^{2} + 2xcos(y), 2ysin(x) - sin(y)x^{2}, 0 )   1'. On détermine la divergence de f : f(x,y,z) = (2x^{2}y,2xy^{2},xy) frac{partial f}{partial x} = 4xy frac{partial f}{partial y} = 4xy frac{partial f}{partial z} = 0 D'où div(f) = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} = 4xy + 4xy + 0 = 8xy   2'. On détermine la divergence de f : frac{partial f}{partial x} = zcos(xz) frac{partial f}{partial y} = 0 frac{partial f}{partial z} = -xsin(xz) D'où div(f) = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} = zcos(xz) + 0 -xsin(xz) = zcos(xz) - xsin(xz)   3'. On détermine la divergence de f : frac{partial f}{partial x} = 2y+z frac{partial f}{partial y} = -x-z frac{partial f}{partial z} = x-2y D'où div(f) = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} = 2y+z -x-z + x -2y = 0   4'. On détermine la divergence de f : frac{partial f}{partial x} = cos(x)y frac{partial f}{partial y} = cos(x) frac{partial f}{partial z} = 0 D'où div(f) = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} = cos(x)y + cos(x) = cos(x)(y+1)   5'. On détermine la divergence de f : f(x,y,z) = (sin(x)yx^{2},cos(x)yx,2xsin(x)cos(y)) frac{partial f}{partial x} = y(2xsin(x) + sin(x)x^{2}) = yxsin(x)(2 + x) frac{partial f}{partial y} = xcos(x) frac{partial f}{partial z} = 0 D'où div(f) = frac{partial f}{partial x} + frac{partial f}{partial y} + frac{partial f}{partial z} = ysin(x)(2+x) + xcos(x) + 0 = ysin(x)(2+x) + xcos(x)   Exercice 2 : Pour f de R^{3} dans R, on a : frac{partial f}{partial x} = 2xy + z^{3} , frac{partial f}{partial y} = x^{2} et frac{partial f}{partial z} = 3xz^{2}. On en déduit les valeurs de f en intégrant chacune des dérivées partielles : begin{cases} f(x,y,z) = x^{2}y + xz^{3} + h(y,z) f(x,y,z) = x^{2}y + h(x,z) f(x,y,z) = xz^{3} + h(x,y)end{cases} Les valeurs de h(y,z), h(x,z),  h(x,y) sont des constantes. Pour chacune des dérivées partielles, les variables des autres valeurs sont par conséquent des constantes. Maintenant que l'on a calculé les intégrales des dérivées partielles, on peut calculer le rotationnel : Rotationnel(f) = (frac{partial f}{partial z} - frac{partial f}{partial y}) + (frac{partial f}{partial x} - frac{partial f}{partial z}) + (frac{partial f}{partial y} - frac{partial f}{partial x}) = (xz^{3} -x^{2}y) + ( x^{2}y-xz^{3}) + (x^{2}y - x^{2}y) = xz^{3} - xz^{3} -x^{2}y + x^{2}y + x^{2}y - x^{2}y = 0 Le rotation de F est donc nul.

La formule pour comprendre le rotationnel
Formule de physique du rotationnel (source : wikipedia)

A noter que le calcul du rotationnel est très utilisé en physique notamment pour calculer la valeur des champs électromagnétiques.

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