a) Méthode des rectangles

On veut déterminer la valeur
approchée de l'intégrale :

oùf est la
fonction définie surI= [a ; b]

Pour cela on va partager l'intervalle I en nintervalles égaux de même largeur (b - a)/n
:

On a :

La méthode des rectangles consiste à remplacer ces n intégrales par les sommes
suivantes :

(méthode des rectangles "inférieurs" RI )
ou

(méthode des rectangles "supérieurs" RS )
autrement dit à remplacer par des fonctions constantes particulières sur chaque
intervalles [xi;xi+1] (fonction en escalier )

En calculant ces deux dernières expressions on trouve :

La moyenne T de ces deux valeurs correspond à la valeur
approchée de l'intégrale par la méthode des trapèzes.

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C'est parti

b) Méthode des trapèzes

aire
d’un trapèze

 

 

 

 

 

On veut déterminer la valeur
approchée de l'intégrale :

où f est la fonction
définie sur I= [a ; b] pour cela on va
partager l'intervalle I en n intervalles égaux de même largeur (b - a)/n :
On a :

La méthode des trapèzes consiste à remplacer ces n intégrales par la somme
suivante (correspondant à la somme des aires algébriques des trapèzes de
hauteur ( xi+1 - xi ) et de bases f(xi+1)
et f(xi) :

(où RI et RS sont les valeurs approchées de l'intégrale avec respectivement les
méthodes des rectangles supérieure et inférieure )

c) Méthode de Simpson

On veut déterminer la valeur
approchée de l'intégrale :

On va partager
l'intervalle I en n (n est un nombre pair) intervalles égaux de même largeur (b
- a)/n :


en considérant les p = n/2 intervalles

on a :

La formule de Simpson qui donne une valeur approchée de
l’intégrale s’écrit :

>

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !